Книга: Г.Н. Попов «Как применялась и применяется тригонометрия на практике»
Производитель: «ЁЁ Медиа»
Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1931 года (издательство`Учпедгиз`). В
Издательство: «ЁЁ Медиа» (1931)
Другие книги автора:
См. также в других словарях:
Медиа Группа Украина — Медиа холдинг «Медиа Группа Украина» управляющая компания, которая объединяет телевизионные и new media проекты Группы «Систем Кэпитал Менеджмент». Стратегическая задача создание интегрированной системы, в которой все активы холдинга… … Википедия
Медиа Группа «Украина» — «Медиа Группа Украина» украинский медиахолдинг, созданный в 2010 году на базе телеканала «Украина» и объединяющий теле и Интернет бизнес группы «Систем Кэпитал Менеджмент». 100% акций «Медиа Группы Украина» принадлежат «Систем Кэпитал Менеджмент» … Википедия
Медиа-микс — план комплексного использования различных средств распространения рекламы для проведения рекламной кампании. Медиа микс содержание рекламной кампании. Медиа микс выделение финансовых средств, ассигнованных на проведение мероприятий, входящих в… … Финансовый словарь
Медиа Инвест Групп — «Медиа Инвест Групп» (МИГ) украинский медиахолдинг, входит в сферу влияния консорциума «Индустриальная Группа», созданного для управления активами Индустриального Союза Донбасса (ИСД) [1]. Содержание 1 Собственники и руководство … Википедия
Медиа-брендинг — процесс продвижения бренда (торговой марки) через средства массовой информации (СМИ), т.е., через телевидение, радио, печатные издания, интернет. К числу инструментов медиа брендинга относятся: Рекламные ролики Рекламные объявления Интернет сайт… … Википедия
медиа. — медиа. часть слова, употр. нечасто Медиа входит в состав сложных слов. Медиабизнес. | Медиакомпания. Толковый словарь русского языка Дмитриева. Д. В. Дмитриев. 2003 … Толковый словарь Дмитриева
МЕДИА — см. МАСС МЕДИА. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006 … Словарь иностранных слов русского языка
Медиа-Маркетинг — маркетинг, основанный на использовании средств массовой информации. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
Исследовательская работа «Тригонометрия на практике»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ тригонометрия на практике.docx
Управление образования администрации города Свободного
муниципальное общеобразовательное автономное учреждение
средняя общеобразовательная школа №2
Тригонометрия на практике
Заколишнов Даниил Романович,
ученик 10Б класса МОАУ СОШ № 2
работы: Ширшова Елена Викторовна,
учитель математики МОАУ СОШ № 2
Тригонометрия на практике
Тригонометрия в профессиях
Цель работы : доказательство необходимости изучения тригонометрии
Объект исследования – тригонометрические понятия
— изучить историю возникновения и развития тригонометрии
— рассмотреть области применения знаний тригонометрии, решив ряд практических задач
— выяснить профессии людей, которые чаще всего сталкиваются с тригонометрией
Гипотеза: Решение практических задач с помощью тригонометрии позволяет лучше понять необходимость знаний, приобретаемых при изучении данной темы, повышает интерес к ее изучению.
Впервые данный термин появился в 1595 году. Так называлась книга немецкого математика Бартоломеуса Питискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Другими словами, тригонометрия – это наука об измерении треугольников.
Сама наука уже существовала в глубокой древности. Долгое время тригонометрия развивалась как часть геометрии. Необходимость в развитии тригонометрии возникала в связи с решением задач астрономии и мореплавания (например, определение местонахождение судна, вычисление времени). Математики разных стран и в разное время открывали формулы тригонометрии. Клавдий Птолемей, составив первую таблицу синусов, дал практическое средство решения многих практических задач, и в первую очередь задач астрономии.
Тригонометрия на практике
По-своему правы те, кто говорит, что тригонометрия в реальной жизни не нужна. Что с помощью синуса или косинуса будет находить воспитатель, дворник, продавец, юрист? Однако встречаются случаи, когда тригонометрия необходима.
Чаще всего она нужна при работе с земельным участком, например, на даче или огороде. Создать аккуратный симметричный дизайн цветника, разметить грядки, разметить ровные параллельные линии можно только с помощью геометрии.
При измерении дальних расстояний не обязательно тянуть рулетку — можно просто измерить угол от ближайшего столба или стены и, зная определение тангенсов или синусов, вычислить расстояние.
Рассмотрим ряд задач практического содержания.
Задача 1: Новый телевизор
У бабушки сломался телевизор со стеклянным экраном и электронно-лучевой трубкой. Решили купить новый, жидкокристаллический. Старый телевизор был 29 дюймов(). 29дюймов по диагонали сейчас не делают, возьмем 32(), пусть бабушка порадуется. Приносим подарок, включаем, а бабушка и говорит: «Чой-то маленький какой-то телевизор, мой-то больше был!» Почему бабушка недовольна?
Решение: Старый телевизор:
Чтобы бабушка была довольна, надо было брать с диагональю 40 дюймов
(), у которого стороны 49см и 87см. Угол между диагональю и длиной небольшой, но длины сторон по сравнению со старым телевизором больше.
Задача 2: Расчет материалов на крышу
Расчет кровли в первую очередь начинается с определения угла наклона. Теоретически он может составлять 11-70 градусов, но больше 45 градусов делать не стоит. Во время холодных и снежных зим угол наклона 45 градусов позволит избавить кровлю от снежной нагрузки. Также для большого угла наклона кровли необходимо большее количество материала. Следует учитывать, что от вида кровельного покрытия и угла уклона меняется и шаг стропил. Чем больше угол уклона, тем шаг стропил может быть большим.
Конечно, строительство дома каждый из нас доверит специалистам, но рассчитать приблизительное количество материала и материальных затрат может каждый. Для этого необходимо выбрать угол уклона и высоту конька или угол уклона и ширину дома.
Ширина дома 10 м, а половина – 5м
Если угол уклона нужен больше или меньше, то необходимо изменить либо высоту конька, либо ширину дома во время проектирования. Далее вычислить длину покрытия и, соответственно, площадь крыши и материальные затраты на ее строительство.
Подобные расчеты позволили составить таблицу (Приложение 1)
Для выполнения работ под днищем автомобиля можно воспользоваться ямой, подъемником или эстакадой. Яму можно обустроить только в сухом грунте, поэтому она доступна не во всех гаражах. Подъемник – дорогое удовольствие, которое может себе позволить ремонтная мастерская. В итоге для рядового автолюбителя остается самодельная эстакада для машины, не требующая больших затрат и времени для сборки. Изготовить такую конструкцию в домашних условиях несложно. Основным требованием будет наличие достаточного пространства.
Стационарная металлическая эстакада Схема для расчетов
Задача 4: Возводим горку во дворе
При постройке горки во дворе тоже потребуется тригонометрия. Для того, чтобы можно было скатываться с горки с безопасной скоростью, надо просчитать оптимальный угол, под которым будет наклонена горка относительно земли, высоту и длину проекции ската.
Значит горку надо строить не более 2 м, тогда угол будет меньше 30 градусов, и кататься будет безопаснее.
Задача 5: Дорожное строительство
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м
Задача 6: Математика в артиллерии
Бомбардировщик на большой скорости – 707 км/ч. – приближается к важному объекту противника. Необходимо поднять в воздух зенитную ракету, скорость которой 1000 км/ч. Под каким углом направить ракету, чтобы она встретилась с самолетом?
Для решения этих задач использовались определения синуса, косинуса, тангенса прямоугольного треугольника. Подобных задач в практике можно встретить очень много. Однако и другие теоремы, и свойства тригонометрии используются на практике.
Задача 7: Как измерить высоту горы? (дерева)
Для определения высоты горы достаточно с двух разных точек измерить с помощью приборов величины углов, под которыми видна вершина, а затем воспользоваться теоремами синусов и косинусов.
=200 · = =10,85 · 200=2170
Из треугольника ВС D : м
В этой задаче использовалась теорема синусов.
Для измерения углов используются разные приборы (приложение 1).
Задача 8: На какой высоте летит самолет
Решение:Высота полета самолета
Треугольник АВС: С = 90 0 ;
Треугольник DAC : С=90 0 ; А D = = 224,9 м.
BD = 224,9 ·= 342,2 м. ВС = 342,2 + 79,5 = 421,7 м
Желание решить подобные задачи могут возникнуть у любого любознательного человека, поэтому все базовые знания тригонометрии изучаются в 8-9 классах.
В старшей школе изучают формулы двойного аргумента, суммы и разности аргументов, решают разного вида уравнения. Считается, что ребята, которые оканчивают старшую школу, планируют дальше учиться в ВУЗах, чтобы стать хорошими специалистами, заниматься научными исследованиями.
Тригонометрия в профессиях
Тригонометрические вычисления нашли свое применение почти во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, в армии и навигации, строительстве. С помощью тригонометрии можно измерять расстояния между звездами, между ориентирами в географии, производить контроль над системами навигации спутников.
Для этого используют метод триангуляции – это тригонометрическая операция для определения местоположения по двум точкам, находящимся на известном расстоянии друг от друга. Это метод измерения расстояний с использованием треугольников. Служит для обоснования геодезических работ при строительстве крупных инженерных сооружений, создания точных карт. Вершины треугольников обозначают на местности деревянными или металлическими вышками высотой от 6 до 55м (Приложение 2) в зависимости от условий местности.
По известному расстоянию (АВ) и углам по теореме синусов определяют сторону ВС. Продолжая измерения, покрывают Землю сетью треугольников. Так можно вычислить расстояние между любыми двумя точками на поверхности Земли. Обычно этим занимаются геодезисты.
Геодезисты имеют специальные инструменты для точного измерения углов. (Приложение 3) При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.
Чаще всего им приходится определять разницу высот между точками земной поверхности – нивелировать. Принцип тригонометрического нивелирования подразумевает использование теодолита или тахеометра. (Приложение3).
Математика дает артиллеристам все формулы, нужные для расчетов.
На рисунке показано взаимное расположение батареи Б, наблюдательного пункта К и цели Ц. Для того чтобы попасть в цель, необходимы точные расчеты.
Используя теоремы косинусов и синусов, определяем дальность до цели БЦ и установки угломера
Тогда прицел равен
Этот способ не является идеально точным. Его артиллеристы применяют лишь тогда, когда важнее всего простота и скорость решения задачи, точностью же можно пренебречь. Для высокой точности стрельбы артиллеристы выполняют аналитический расчет дальности и угломера по более точным и сложным формулам. Тригонометрия и таблицы логарифмов позволяют с очень большой точностью рассчитать установку угломера и дальность до цели. Для полного же понимания теории стрельбы и науки о полете снаряда – баллистики – надо знать всю высшую математику.
Астрономия
В астрономии работают не с плоскими треугольниками, а со сферическими. Стороны сферического треугольника измеряют не линейными единицами, а величинами дуг, то есть величинами центральных углов, опирающихся на эти дуги.
Астрономы определяют высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу.
С точки зрения тригонометрии, определяют сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.
Если известны стороны а,b и угол между ними γ, тогда
сторона с находится по теореме косинусов
а углы α, β по формулам Непера:
Очень часто в жизни приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными: биение сердца, дыхательные движения грудной клетки, шаги ног при ходьбе, движение иглы швейной машины, прыжки на батуте, движение качелей, колебание поплавка на воде движение крыльев стрекозы, рессоры вагона и др. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются тригонометрическими функциями. Модель биоритмов и в медицине, и в биологии можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.
ЭКГ – это не только современный, но и наиболее доступный метод определения характеристик активности сердца. Человеческое тело обладает электропроводимостью, поэтому биотоки сердца могут проецироваться на его поверхность и записываться при помощи аппаратов ЭКГ. С точки зрения физики, электрокардиограмма – это регистрация электрических сигналов, которая ведется с нескольких участков сердечной мышцы. Для этого на определенные точки тела крепят пластины, передающие сигналы на аппарат ЭКГ. Все полученные электрические сигналы преобразуются в графическую информацию и наносятся на специальную ленту. Таким образом, весь процесс работы сердца мы видим, как кривую с выраженными зубцами. Когда кровь течет к электродатчику, то кривая находится выше горизонтальной оси, если от пластины, то кривая ниже оси. От этого она похожа на синусоиду.
На рисунке представлены примеры нормального ритма сердца (а), тахикардии (б), брадикардии (в) и нерегулярного ритма (аритмии) взрослого человека (г).
Без них невозможно разделить круг на равные сектора — это умение может пригодится в самых разных областях жизни: от рисования и дизайна до раскраивания ткани или строительных материалов.
Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Именно с помощью тригонометрии проходит большинство композиционных решений.
Поверхность Гауди
Детская школа Гауди в Барселоне винодельня «Бодегас Исиос»
В данной работе показано применение тригонометрии лишь в некоторых областях нашей жизни, где в основном используются базовые элементы тригонометрии – определения тригонометрических величин, то есть определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
Кроме этого, рассмотрены профессии людей, в которых без знания многих формул тригонометрии не обойтись.
И все-таки, изучение тригонометрии необычайно полезно для мозга — поиск нужных формул, преобразование одних элементов в другие заставляет извилины напрягаться, что позволяет мозгу оставаться более подвижным.
Лобачев А. В. «Определяем необходимое расстояние между стропилами строения» http://1metallocherepica.ru/ustrojstvo-kryshi/stropila.html
Министерство образования и науки Республики Дагестан
МКОУ «Могилевская СОШ им.Н.У.Азизова»
Глава 2.Тригонометрия и реальная жизнь: 12-21
2.1 Тригонометрия в астрономии. 12
2.2 Тригонометрия в физике. 13
2.3 Тригонометрия в медицине и биологии. 14
2.4 Тригонометрия в музыке. 15
2.6 Тригонометрия в строительстве и геодезии. 16
2.7 Интерпретация. 17
Список литературы. 20
Тема моей исследовательской работы «Кому нужна тригонометрия».
С основными понятиями тригонометрии мы познакомились в 8 классе, изучая прямоугольные треугольники, но далее мы более подробно стали ее изучать не только в треугольниках, но и на числовой окружности. И нам стало интересно, что же такое «тригонометрия”, как зародилась эта наука, кто стоял у ее истоков и где она используется в жизни.
Объект исследования: тригонометрия
Предмет исследования: практическое применение тригонометрии.
— Изучить историю происхождения тригонометрии;
-связь тригонометрии с реальной жизнью и развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала;
-расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология и т.п.
Для достижения поставленных целей я решила следующие задачи:
— Составить краткую хронологию истории возникновения и развития тригонометрии,
— Провести сравнительный анализ развития тригонометрии в Индии (IV – VII вв.), Арабских странах (IX-X вв.) и Европе (XII-XIX вв.).
— Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о необходимости применения тригонометрии в различных сферах жизни.
Глава 1.Тригонометрия –что такое
1.1Основные понятия тригонометрии
Ключевым понятием для нашего исследования является понятие «тригонометрия». Тригонометрия (от греч. trigonon-треугольник и metrio-измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. Тригонометрия, как и всякая наука, вырастала из потребностей практической деятельности: в мореплавании, в астрономии, в ведении точного календаря, в нахождении расстояний до недоступных объектов, в строительстве при создании пирамид. История тригонометрии как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц. Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы; немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций и другие инструменты анализа. Томас Пейн в своей книге «Век Разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки». Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца, и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления. Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым
1.2 История развития тригонометрии.
Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии играет потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.
Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н. э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия.
Гиппарх составил первые таблицы хорд, т. е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха( как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению « Великое построение» или ( в арабском переводе) « Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н. э.
Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V-XII).
Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. ( Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в. из так называемого « синуса дополнения», т. е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).
Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.).
Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный « вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.
Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил ( словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10¢.
В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.
Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси.
Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге « О треугольниках разных родов», написанной Иоганном Мюллером, более известным в математике под именем Региомонтана. Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001.
Английский ученый XIV века Брадвардин первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».
Швейцарский математик Иоганн Бернулли уже применял символы тригонометрических функций.
В первой половине XIX в. французский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.
Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера, он придал всей тригонометрии современный вид.
В своем труде «Введение в анализ» (1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.
Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.
Тригонометрия в России
В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).
Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н. И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других.
« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функции. Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа». В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа, которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.
