Как правильно учить матанализ

Как выучить математический анализ с нуля?

Прежде чем составить план работы, надо уточнить, куда вы идете и откуда.

Куда.

Вот три основных направления: матанализ как инструмент (и тогда достаточно строить и анализировать графики функций, брать производные и интегралы); матанализ как часть математики (и тогда нужно углубиться в основания); матанализ как часть культуры (и тут хватит хорошей книжки с картинками, чтобы получить общее представление).

Откуда.

Очень странно, что с нуля.

(Обычно математику желают изучать с нуля те люди, которые учили-учили, но так и не выучили. Разобраться «что я знаю, а что нет» они не могут, потому что вконец запутались, и думают, что проще начать с нуля. Это самообман. Не проще. Устройте себе самодиагностику и разберитесь, какие темы действительно уже понимаете. Это часть умения учиться, без этого все равно не обойтись и в дальнейшем.)

В школе сейчас изучают основы анализа, обязательно геометрический смысл производной. На ЕГЭ требуется умение по графику производной определить свойства функции и наоборот. У вас действительно ноль знаний по программе средней школы? Лучше бы ее осилить, и притом на профильном уровне, прежде чем переходить к высшей математике. По дороге вы не только освоите азы анализа, но разовьете умение учиться, без этого подходить к анализу несколько опрометчиво.

(Буду теперь рассказывать коллегам, что объясняла Фихтенгольцу, как учить матанализ.)

Источник

Как понять математический анализ?

У меня непростые отношения с матанализом: с одной стороны он демонстрирует всю красоту и мощь математики, а с другой — агонию математического образования.

Математический анализ связывает различные темы в элегантной, но довольно сложной для ума манере. Ближайшая аналогия, которая приходит мне на ум, — Дарвиновская теория эволюции: стоит ее понять, и весь мир видится с позиции выживания. Вы понимаете, почему лекарства привели к резистентным микробам (выживает наиболее приспособленный). Вы понимаете, почему сахар и жир сладкие на вкус (вкус стимулирует потребление высококалорийных продуктов в условиях дефицита резервов организма). И все эти моменты складываются в единую, логическую картину.

Матанализ таким же образом проливает свет на всю систему математики. Не кажется ли вам, что все эти формулы как-то связаны?

Так и есть. Но большинство из нас изучают эти формулы независимо друг от друга. Математический анализ позволяет начать с «длина окружности = 2 * π * r» и вывести остальные формулы для вычисления площади круга, сферы и даже объема шара — древним грекам очень бы пригодился подобный подход.

К сожалению, матанализ олицетворяет собой все трудности в изучении математики. Большинство уроков объясняются на натянутых, неправдоподобных примерах, заумных доказательствах и банальном заучивании, которое напрочь убивает интуицию.

Так действительно не должно происходить.

Математика, искусство и идеи

Кое-что я понял еще со школы: математика — не самая сложная часть математики; самое тяжелое — мотивация к ее освоению. Особенно, умение не терять энтузиазм, несмотря на:

«…если бы мне пришлось создавать механизм с единственной целью разрушить природное любопытство ребенка и его любовь к моделированию, вряд ли бы у меня получилось лучше, чем это уже реализовано — у меня бы просто не хватило фантазии, чтобы тягаться с такими бесчувственными, унылыми идеями, которые воплощены в современных методах изучения математики».

Представьте изучение изобразительного искусства так: Детки, никакого рисования в детском садике. Вместо этого, давайте-ка изучим химию лакокрасочных изделий, физику света и анатомию глаза. После 12 лет изучения этих аспектов, если дети (точнее уже подростки) всё еще не возненавидят искусство, они смогут начать рисовать самостоятельно. В конечном итоге, они теперь владеют полноценным фундаментом для того, чтобы начать уважать искусство. Верно?

Также и с поэзией. Представьте изучение этой цитаты (формулы):

«Но главное: будь верен сам себе; Тогда, как вслед за днем бывает ночь, Ты не изменишь и другим.» —Вильям Шекспир, Гамлет

Это элегантный способ сказать «будь собой» (и если это означает непочтительно писать о математике, пусть будет так). Но если бы мы рассматривали поэзию на уроке математики, вместо поиска смысла мы бы занялись подсчётом количества слогов, анализировали пятистопный ямб, разметкой существительных, глаголов и прилагательных.

Математика и поэзия — это как разные способы пояснить, охарактеризовать одно и то же. Формулы — это средства к достижению цели, способ выражения математической истины.

Мы забыли, что математика оперирует идеями, это не машинальное маниппулирование формулами, которые выражают эти идеи.

Ну это всё понятно, так в чем же твоя великая мысль?

Вот, что я не буду делать: я не буду пересказывать уже написанные учебники. Если вам нужны ответы здесь и сейчас, есть масса вебсайтов, видеоуроков и 20-минуток в помощь.

Вместо этого давайте освоим основные положения матанализа. Уравнений недостаточно — я хочу моментов озарения, чтобы вы действительно видели их смысл и понимали язык математики.

Формальный математический язык — это просто способ коммуникации. Графики, информативные анимированные модели и разговор простым языком могут дать больше знаний, чем целая страница заумных доказательств.

Но матанализ — это сложно!

Я думаю, что любой человек сможет понять основные положения матанализа. Нам не обязательно быть поэтами, чтобы наслаждаться произведениями Шекспира.

Вам будет гораздо проще, если вы знаете алгебру и интересуетесь математикой. Не так давно, чтение и письмо были работой специально обученных писцов. А сегодня это может сделать любой 10-летний ребенок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в развитии возможностей. Так что ожидайте, что матанализ — это просто еще один предмет. Некоторые люди доходят до мельчайших подробностей (писатели/математики). Но остальные из нас могут просто восторгаться происходящим и попытаться его понять. Я бы хотел, чтобы каждый освоил основные понятия матанализа и сказал «Вот это да!».

Так о чем же матанализ?

Некоторые определяют матанализ как «область математики, которая изучает пределы, дифференцирование, интегрирование функций с одной или более переменных». Это определение верно, но оно совсем не полезно для новичков.

Вот мой ход: Матанализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.

Используя матанализ, мы можем спросить самые разные вопросы:

Алгебра и матанализ решают задачи вместе: матанализ находит новые уравнения, а алгебра их решает. Как эволюция, матанализ расширяет ваше понимание того, как работает матушка-природа.

Пример, пожалуйста

Представим, что мы знаем уравнение длины окружности (2 * π * r), и нам нужно найти площадь. С чего начнем?

Представьте, что заполненный диск круга — это как набор матрешек.

Тут есть два способа нарисовать этот диск:

Количество «пространства» (площадь) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? И сколько пространства занимает кольцо?

Самое большое кольцо имеет радиус «r», и длина окружности кольца вычисляется как 2 * π * r. По мере того, как кольца уменьшаются, окружность также становится меньше, но всё равно сохраняется соотношение 2 * π * текущий радиус. Последнее кольцо больше похоже на булавочную головку, и длину окружности уже не вычислишь.

А теперь начинается самое интересное. Давайте раскрутим эти кольца и выровняем их. Что произойдет?

Ух ты! Общая площадь колец = площадь треугольника = площадь круга!

Это был простой пример, но вы уловили основную идею? Мы взяли диск, разделили его, и сложили части вместе немного другим путем. Матанализ показал, что диск и кольцо тесно связаны друг с другом: диск — это действительно набор колец. Это очень популярная тема в матанализе: Большие предметы состоят из более мелких предметов. И иногда именно с этими мелкими предметами работается проще и понятнее.

Немного о примерах

Множество примеров в матанализе основано на физике. Это, конечно, замечательно, но бывает сложно их воспринимать: честно, далеко не всегда удается держать в голове разные физические формулы вроде формулы скорости объекта.

Я предпочитаю начать с простых визуальных примеров, потому что именно так и работает наш мозг. Кольцо/круг, которое мы исследовали — вы бы могли смоделировать то же самое из нескольких отрезков трубок разного диаметра: разделить их, выровнять и уложить в грубый треугольник, чтобы убедиться, что математика действительно работает. С простой физической формулой такое вряд ли удастся провернуть.

Немного о математической строгости (для фанатиков этой науки)

Я чувствую, как математики-педанты жгут свои клавиатуры. Поэтому я вставлю всего несколько слов о «строгости». Знаете ли вы, что мы не учим матанализ способами, которыми его открыл Ньютон или Лейбниц? Они использовали интуитивные идеи «флюксии» и «бесконечно малых величин», которые были заменены пределами, потому что «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создали сложные механические модели, чтобы «точно» доказать матанализ, но мы утратили интуитивное восприятие предмета в процессе таких доказательств.

Мы смотрим на сладость сахара с точки зрения химии мозга, вместо того, чтобы пояснять это языком науки «В сахаре много энергии. Ешьте его».

Я не хочу (и не могу) преподавать матанализ студентам или обучать ученых. Но будет ли плохо, если каждый сможет понимать матанализ на том «неточном» уровне, на котором его понимал Ньютон? Чтобы это также изменило мир для вас, как когда-то изменило для него?

Преждевременная концентрация на точности рассредоточивает учеников и делает математику сложной для изучения. Вот хороший пример: число е технически определено пределом, но открыто оно было именно с помощью интуитивной догадки о росте. Натуральный логарифм может выглядеть как интеграл, или время, которому нужно расти. Какие объяснения лучше помогут новичкам?

Давайте немного порисуем от руки, а в химию погрузимся уже по ходу дела. Приятных вычислений.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как правильно учить матан?

Последний раз редактировалось PeanoJr 27.07.2014, 23:34, всего редактировалось 1 раз.

Посоветуйте пожалуйста, как эффективно читать математическую литературу. Вот,например,математический анализ. Приблизительно составил когда-то (после чтения форума) список учебников,которые актуальны для технических ВУЗов. Их и использую главным образом:

1) Бугров-Никольский
2) Ильин-Позняк
3) Фихтенгольц
4) Кудрявцев (3 тома,не краткий курс)

Читаю я,например, тему: «Понятие ряда» в Кудрявцеве. Кудрявцев числовой ряд определяет как пару последовательностей:элементами которых являются члены ряда и частичные суммы соответственно.
Но меня всегда тянет посмотреть и другие учебники, и тут я читаю,что в остальных учебниках из перечисленных мною даётся другое, более понятное для меня определение ряда.
Или,например, символика Ландау. До сих пор толком ее не понимаю. Вернее, я знаю определения,но не более того. До сих пор не совсем понимаю эквивалентность следующих записей:
при и в то же самое время можно записать:
при .

Сформировалась привычка одну и ту же тему читать сразу в нескольких учебниках. Имеет ли вообще смысл так делать?
Получается,что на одну тему у меня уходит гораздо больше времени,чем если бы я читал только один учебник. А ведь ещё надо решать задачи.
Может стоит просто взять один учебник и в случае проблем с пониманием читать до тех пор,пока не врублюсь? 🙂

Несомненно имеет смысл. Опыт показывает, что некоторые авторы, образно говоря, «не договаривают» кое-что.

Заслуженный участник

Какой из вышеперечисленных учебников Вы бы посоветовали в качестве основного, на котором можно остановиться? Желательно такой, в котором изложение ведется самым стандартным образом.

Заслуженный участник

Вот если разлагать не синус, а, скажем, то будет ясно видно, что

записать можно, а

записать нельзя.

Это не плохо. Зато у вас получаются более глубокие и прочные знания.

Вот если разлагать не синус, а, скажем, то будет ясно видно, что

записать можно, а

записать нельзя.

Если можно,на примере:

Как я понимаю эту запись: выражение — некое слагаемое, частное от деления которого на в окрестности нуля стремится к нулю.
Если записать это через O-большое:

означает, некое слагаемое, которое в окрестности нуля, ограничено сверху
Правильно ли я понимаю?

Обычно стараюсь так и делать, иначе плохо понимаю. Бывало,конечно,просто запоминать какие-нибудь теоремы или формулы для семинаров, но потом все равно приходится разбираться в доказательстве для осознанности.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Munin 28.07.2014, 01:23, всего редактировалось 4 раз(а).

Источник

Посоветуйте как и по чём изучать Математический анализ.

Всем привет. Знаю таких тем была куча, и вы скорее всего меня затроллите и т.д., но может быть кто-то даст мне несколько советов). Хочу изучить Математический анализ. Примитивные знания по нему имеются, но хотелось бы вникнуть поглубже. Посоветуйте хорошие(корректные) книги по этой дисциплине не самого высокого уровня. Фихтенгольца читал, но мне не очень нравится его стиль изложения и не все его «очевидные» вещи мне кажутся очевидными(

Рудин. Основы математического анализа.

Почитай Кудрявцева, сразу полюбишь Фихтенгольца.

Фихтенгольца читать, Демидовича решать.

постигни геометрический смысл производной, потом физический, потом научись решать уравнения в уме вида:

Основы математического анализа. В 2-х ч. Ильин В.А., Позняк Э.Г.

Начни с функционального, матан будет как два пальца потом.

Бугров-Никольский ничего так, а потом что-нибудь посерьёзнее.

По интегральчику с водофкой и картофанчиком.

Буду краток: матан я по-настоящему понял тогда, когда прошел курс функана. Линейку я по-настоящему врубил только после курса ЧМО. Функан я но-настоящему врубил только после курса теории управления с частью выпуклого анализа.

и вы скорее всего меня затроллите и т.д.

Ага, это тоже полезно. Начинай с первоисточников на латыни: Isaac Newton «De Analysi» 1669. © 🙂

Линейку я по-настоящему врубил только после курса ЧМО

так ты в армии служил что ли?

Мне нравится стиль изложения у Зорича.

Зорича понимаю не полностью может есть что-то, что можно почитать( какие-то основы), чтобы полностью понять его изложение?

и не все его «очевидные» вещи мне кажутся очевидными(

Не берусь утверждать что мой способ принесет результат,но ты должен сам в таких местах думать. Минут 5 думай пока не поймешь. Ненадо тупо запоминать теоремы и факты. Понимай их суть, понимай их вывод.

а есть какой-нибудь «матан для полных дибилов»? Чтобы понял человек с ГСМ в терминальной стадии (я). Чтобы не «стараться понимать, что откуда следует», а чтобы автор по-человечески блин это объяснил. Даже если на такое объяснение понадобится в 20 раз больший объем текста.

с математикой я не связан, ибо быдлокодирую веб-сайты. Но сдавать экзамены и госы придется.

Я думал, ты 30летний наркоман.

Берёшь Демидовича и _решаешь_ _подряд_ _все_ задачи. Абсолютно все.

Выучить безусловно таблицу производных-интегралов. Найти такую, где не пишут: (ln(x))’ = 1/x а пишут: (ln(u))’ = u’/u иначе туго придётся.

Потом т.в. и м.статистику с булевой алгеброй и комбинаторикой.

Не забывать про линейную алгебру и аналитическую геометрию.

Советую почитать для понимания сути анализа. Аппарат потом изучишь.

Г.М. Фихтенгольц «Курс математического анализа».

Задачник лучше всего Кудрявцева, неплохо дополняет учебник.

Берёшь Демидовича и _решаешь_ _подряд_ _все_ задачи. Абсолютно все.

Источник

Как освоить мат анализ?

Подскажите норм ресурсы, чтобы можно было «познать в сравнении» или «понять на доходчивом примере»
Если что, есть люди которым можно задать конкретные вопросы по поводу мат анализа

Подскажите,пожалуйста, какой-нибудь хороший курс по мат. анализу! Хочу понять мат.анализ!
Очень хочется найти какой-нибудь хороший онлайн-курс по мат.анализу, на котором бы преподаватель.

Мат анализ
Помогите решить задания, пожалуйста Правила, 5.18 Напечатайте задания здесь. И редактор формул.

Мат.анализ
Пожалуйста помогите решить задачи

Задачи на мат.анализ
Помогите решить пожалуйста.

Математический анализ, математика+анализ, т.е. вы проводите анализ чего либо применяя математический аппарат наработаный людьми за столетия развития мира.

Главное на парах не запоминать на память сам процесс анализа, а понять сами основы анализа, механизмы анализа. Т.е. школьник знает теорему Пифагора как основу уже может провести математический анализ опираясь на теорему проектируя, скажем, план своего дома.

Есть в сети отсакинированные тома математической энциклопедии, Вся высшая математика, вот загрузите себе на компьютер и работайте с информацией.

Выразил свое мнение.

Решение

Ну и матанализ вполне успешно описывает процессы. В частности, законы природы обычно формулируются в виде дифференциальных уравнений. И разные математические модели также часто основываются на дифурах.

Источник