зачем нужны матрицы в математике
Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?
Первые упоминания о матрицах или «волшебных квадратах», как их тогда называли, были найдены на территории еще Древнего Китая, однако бум случился намного позже, в середине XVIII века, когда знаменитый математик Габриэль Крамер опубликовал свой труд под названием «Введение в анализ алгебраических кривых», в котором описывался алгоритм решения систем линейных уравнений совершенно новым методом.
Как следствие, в дальнейшем появляются «классический» метод решения Карла Фридриха Гаусса, теорема Гамильтона-Кели, работы Карла Вейерштрасса, Георга Фробениуса и других выдающихся ученых.
Занимательно, что только после всех этих открытий, а именно в 1850 году был непосредственно введен термин матрица, автором которого стал Джеймс Джозеф Сильвестр.
Сегодня термин «матрица» применяется во множестве разных областей: от программирования до кинематографии (здесь должно быть название фильма, о котором вы все подумали).
Матрица в математике – это таблица чисел, состоящая из определенного количества строк (m) и столбцов (n).
Вы встречаетесь с ними каждый день, так как любая числовая информация, занесенная в таблицу, уже в какой-то степени считается матрицей.
Примером могут служить:
● список телефонных номеров;
● различные статистические данные;
● табель успеваемости ученика и многое другое.
Сами матрицы всегда обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C…), а элементы матрицы – строчными (a, b, c…). Индексы обозначают местоположение элемента матрицы в системе, причем первое число – это всегда номер строки, а второе – это всегда номер столбца. Например, а23 находится во второй строке и в третьем столбце, а31 в третьей строке и первом столбце и т.д.
Важно произносить элементы матриц правильно, так а23 будет звучать как «а два три», а не «а двадцать три».
Примеры записи матриц
Для чего нужны матрицы
Теперь выясним, для чего нам так нужны матрицы конкретно в математике?
В качестве примера рассмотрим простейшую систему двух линейных уравнений и решим ее методом сложения, который изучают в школьном курсе.
Оказывается, можно решить эту систему уравнений альтернативным способом, используя матрицы, и называется он метод Крамера.
Вы можете подумать, зачем усложнять решение какими-то матрицами?
В данном случае да, при желании можно эту систему и в уме решить. Но представьте себе систему, состоящую хотя бы из 5 линейных уравнений с пятью неизвестными. А если система состоит из 6, 7 или ещё больше уравнений? Решать её школьным методом, мягко говоря, трудоёмко. Зато применяя тот же метод Крамера, решение будет выглядеть достаточно компактно.
Система с тремя уравнениями
В подтверждение вышесказанного рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными и решим её метод Крамера.
Из этого следует, что матрицы – еще один способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
На основе второго примера убеждаемся в том, что матрицы могут применяться в тех случаях, когда применение школьных методов решения СЛАУ не является рациональным.
На самом деле за прошедшие столетия алгебра матриц изучена более, чем достаточно, и тот факт, что матрицы используются повсеместно однозначно подтверждает необходимость их изучения.
Что такое матрицы и что с ними делать?
Впервые сталкиваясь с высшей математикой, студенты приходят в ужас. Новые понятия, методики расчетов, схожие между собой, множество действий вводят учащихся в ступор. Если Вы учитесь на факультете, который по минимуму связан с математикой и физикой, то на разбор одной темы в среднем уходит 3-5- пар (притом 1-2 из них лекции, а остальные – семинары и практикумы).
Первым и, пожалуй, одним из простых понятий, встречающихся в математической науке, является матрица. В нашей статье речь пойдет не о знаменитом одноименном фильме, а о математической единице. Сегодня мы расскажем: что это такое и с чем это «есть», как применять на практике.
Что такое матрица?
Впервые с этим понятием сталкиваются студенты 1-2 курсов независимо от факультета и выбранной специальности. В общем виде матрица представляет собой прямоугольную таблицу с числами, притом каждое из них занимает определенное место и положение, имеет собственное обозначение.
Каждая матрица имеет свое имя. Оно обозначается заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и пр.
У каждой матрицы есть свой размер. Одежду подбирать ей не придется, но вот учитывать это параметр при действиях над матрицей нужно обязательно. Размер матрицы определяется, исходя из количества строк и столбцов, которые обозначают m и n соответственно.
Пример матрицы
Все числа, образующие таблицу (непосредственно матрицу), называют элементами матрицы. У каждого из них есть свое обозначение с учетом местоположения (строка+столбец). Например, элемент, находящийся в первой строке и первом столбце обозначают а11, а элемент в первой строке и втором столбце – а12.
Нужна помощь преподавателя?
Мы всегда рады Вам помочь!
Какие действия можно выполнять над матрицами?
Матрицы, как математическая единица, поддаются всем основным действиям: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Каждая из операций будет иметь определенный порядок действий и потребует соблюдение конкретных условий.
Особенности сложения и вычитания матриц
Одним из важнейших требований в данном случае является соразмерность матриц. Оно означает, что размер матриц должен быть одинаковым. В противном случае сложить или вычесть один элемент из другого не удастся. При разном количестве элементов произвести необходимые действия не представляется возможным.
Сложение и вычитание соразмерных матриц производится следующим образом: все действия осуществляют над одними и теми же элементами из разных матриц.
Как происходит сложение матриц?
Вычитание производится аналогично, поэлементно. Важно отметить, что количество слагаемых (суммируемых или вычитаемых матриц) может быть неограниченно.
Особенности умножения матриц
Умножение необходимо рассматривать в двух вариантах:
Это самый простой вариант развития событий. В данном случае необходимо умножит каждый элемент матрицы на число.
Получить произведение матриц возможно не во всех случаях. Здесь также необходимо соблюдение определенных условий: число столбцов одной матрицы должно быть равнозначным числу строк другой матрицы.
Как умножаются матрицы?
Специфика умножения матриц проявляется в следующем: умножение производится не просто поэлементно, но и с учетом строк и столбцов. Элементы новой матрицы получаются в ходе умножения элементов и суммирования двух произведений. То есть фактически нужно умножать строку на столбец.
Рассмотрим порядок умножения матриц на примере:
Правила умножения матрицы
Деление матриц
При делении матриц выделяют новое понятие – обратная матрица, которая обозначается А. Данный критерий действителен только в отношении квадратных матриц (когда число строк равно числу столбцов).
Раскрываем понятие деление матрицы
Произведение матрицы А и А даст единичную матрицу Е.
Транспонирование матрицы – это…
У матриц есть одно специфическое действие, когда можно поменять местами строки и столбцы. Такая операция называется транспонированием. Если обычная матрица обозначается А, то транспонированная — А.
Рассмотрим процесс транспонирования на конкретном примере:
Что такое транспортирование матрицы?
Определитель матрицы – это…
Одним из важнейших элементов матрицы является ее определитель. Данный критерий представляет собой численную характеристику матрицы. Для ее получения нужно, чтобы матрица была квадратной. Расчет определителя производится на основе разности произведений диагоналей: главной и побочной.
Понятие определителя в квадратной матрице
Для чего нужны матрицы?
Матрицы успешно используются, как в математике, так и иных науках. В математическом направлении они позволяют просто и быстро решить систему уравнений.
В экономике использование матричных структур целесообразно при решении некоторых задач. При этом важно чтобы вычисление нужного параметра было можно представить в виде таблицы или системы уравнений.
Матрицы также уместны при вычислении в таких науках, как физика, механика, эконометрика и пр. Они упрощают процесс вычисления искомого параметра при грамотной интерпретации известных критериев.
Команда ОЦ DissHelp готова помочь в рении задач и выполнении контрольных, курсовых и дипломных работ для студентов всех направлений обучения с использованием матриц и без них. Наши специалисты грамотно и просто пояснят, как пользоваться ими в науке и жизни, решат любое задание независимо от уровня сложности. Мы гарантируем высокое качество услуг, соблюдение сроков и индивидуальный подход, конфиденциальность данных.
Трудности с учебой?
Помощь в написании студенческих и
аспирантских работ!
Что такое матрица в математике простыми словами
Обновлено: 08 Августа 2021
Матрица имеет множество значений в разных областях науки и техники. Конкретно в математике это объект, который облегчает вычисления и позволяет легко систематизировать любую информацию. Именно поэтому так необходимо знать, как ею пользоваться. Что же такое матрица?
Что такое матрицы в математике
Матрица — это таблица элементов, которая состоит из строк (m) и столбцов (n).
Может иметь разные размеры и формы в зависимости от количества находящихся в ней элементов. Элементы фиксированы: если переставить хотя бы один, то получится иная матрица с иными свойствами.
Откуда они взялись, чем полезны
Первые упоминания найдены еще в Древнем Китае, однако широкую известность матрицы приобрели только в середине XVIII, аккурат после выхода книги «Введение в анализ алгебраических кривых» Габриэля Крамера. В своей работе знаменитый математик описал совершенно новый способ решения систем линейных уравнений, который прозвали «методом волшебных квадратов». Сам термин «матрица» появился лишь в XIX веке благодаря трудам английского математика Д.Д. Сильвестра.
В современном мире матрицы используют повсюду. Телефонные справочники, табели успеваемости, отчеты и счета тоже являются матричными моделями. Они полезны, так как имеют прикладное значение.
Основные определения и обозначения матриц
В большинстве случаев матрицы обозначают прописными латинскими буквами (A, B, C), а ее элементы — строчными.
Виды матриц зависят от количества строк m и столбцов n. Основные из них:
Также существует понятие детерминант — это определитель свойств квадратной матрицы, который чаще всего используют в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Применение матриц в математико-экономическом моделировании
В математико-экономическом моделировании матрицы считаются самым удобным способом хранения различных структурированных данных и решения задач с ними. Приведем простой пример из экономической модели «затраты-выпуск».
Дана таблица распределения ресурсов по различным отраслям:
Так, элемент а23 = 5,8 обозначает то, сколько водных ресурсов потребляется в торговле, а элемент а11 = 4,8 обозначает, сколько трудовых ресурсов потребляется в промышленности.
Данная матрица может использоваться при сравнении и оценке востребованности ресурсов в различных отраслях экономики, решении экономических задач предприятий и организаций, анализе затраченных средств в ходе производства.
Решение матриц, основные операции с примерами и объяснением
Матрицы можно складывать и вычитать, умножать на определенное число, умножать между собой. Подробнее остановимся на основных операциях.
Сложение и вычитание матриц
Сложение и вычитание матриц возможно только в том случае, если они равны по размеру.
Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы.
С вычитанием действуем аналогичным образом.
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить целую матрицу на число, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.
Подметим, что дроби вносить в матрицу не нужно, поскольку это затрудняет дальнейшие операции.
Вынесение общего множителя за знак матрицы
Для вынесения общего множителя за знак матрицы необходимо найти общий множитель для всех элементов.
Подметим, что вынести общий множитель из строки или столбца невозможно.
Вынесение знака (минуса) за матрицу
При выполнении различных действий с матрицами большое количество минусов может привести к ошибкам и просчетам, поэтому обычно их выносят за матричную модель. Делается это при помощи замены всех знаков элементов. К примеру:
Таким образом, вероятность путаницы уменьшается за счет увеличения положительных коэффициентов.
Изучение матричных моделей не самое простое занятие. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь в написании контрольных работ, статей и диссертаций. Переходите по ссылке и получаете квалифицированную помощь прямо сейчас!
Виды матриц и для чего они нужны простыми словами
Обновлено: 12 Августа 2021
При решении алгебраических или дифференциальных уравнений студенты сталкиваются с понятием матрицы. Этот термин используется в программировании, электронике, фотоискусстве, но основная область применения — математика. Рассмотрим, что это такое, как применяется и какие операции позволяет осуществить.
Что такое матрицы в математике
Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).
Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.
Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».
Откуда они взялись и чем полезны
Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».
Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.
В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.
Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.
В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.
Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.
В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.
Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.
Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.
В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.
Обозначения матриц
Помимо самого термина «матрицы», при их решении нужно знать и другие обозначения.
Элементы матрицы — любые математические объекты: числа, переменные, другие матрицы. Элемент обозначается как aab, где a — номер строки расположения элемента, b — номер столбца.
Главная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая квадратную матрицу из верхнего левого угла в нижний правый угол (квадратные матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов). Прямоугольные матрицы также могут иметь диагонали: они пересекают элементы с одинаковыми индексами.
Побочная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая верхний правый и нижний левый углы. Для прямоугольного вида матриц понятие «побочные диагонали» не используется.
Диагональные элементы — числа и другие математические величины матрицы, расположенные на главной диагонали.
Размер (порядок) матрицы — произведение количества строк на количество столбцов: m×n. Например, если матрица содержит 2 строки и 3 столбца, то ее обозначают матрицей 2×3.
След матрицы — сумма элементов матрицы, расположенных на главной диагонали. Обозначается как Sp (А) или Tr (A), где A — название матрицы.
Равные матрицы — матрицы, у которых соответствующие элементы равны.
Виды матриц, какие бывают
В математике существует несколько видов матриц в зависимости от их размера.
Также различают матрицы по значениям их элементов.
Треугольная матрица всегда квадратная: m=n.
Кососимметрическая матрица всегда квадратная.
Применение матриц в математико-экономическом моделировании
С древности и по настоящее время матрицы используются для решения и удобной записи системы линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. Но их также применяют в математико-экономическом моделировании для структурирования данных и комфортной работы с ними.
Наиболее популярной является матричная модель экономики «затраты–выпуск». Ее внедрил Василий Леонтьев — американский экономист. За развитие этого метода он получил нобелевскую премию: матричная модель упростила решение некоторых экономических проблем. В последствии Леонтьева стали называть «апостолом планирования».
Суть модели «затраты–выпуск» в том, что экономист разделил производственный сектор экономики на отрасли, число которых обозначается n. 1 отрасль — 1 вид продукции. Значит, n количество отраслей выпускает n количество продуктов. Это приводит к появлению межотраслевых связей: одна отрасль заимствует у другой продукт и использует в процессе производства своей продукции. Данная балансовая модель представлена в виде системы линейных уравнений, решаемых с помощью матрицы.
Какие операции можно производить с матрицами
С матрицами можно проводить несколько операций.
При умножении матрицы нельзя менять местами.
Примеры решения задач на матрицы
Пример решения задачи на умножение.
Найдем значение каждого элемента:
Пример решения задачи на умножение матрицы на число 5.
Учитесь работать с матрицами и продолжайте осваивать математику, а если задач накопилось слишком много и «горят» сроки, вам поможет сервис Феникс.Хелп. Обращайтесь!
Что такое матрица
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные элементы матрицы с примерами, область ее применения, а также приведем краткую историческую справку касательно развития теории матриц.
Определение матрицы
Матрица – это своего рода прямоугольная таблица, которая состоит из строк и столбцов, содержащих определенные элементы.
Применение матриц в математике
Матрицы используются для записи и решения систем линейных алгебраических уравнений или систем дифференциальных уравнений.
Элементы матрицы
Например, для матрицы выше:
Строки
Если все элементы строки матрицы равняются нулю, то такая строка называется нулевой (выделена зеленым).
В противном случае, строка является ненулевой (выделена красным).
Диагонали
Диагональ, проведенная от верхнего левого угла матрицы в нижний правый называется главной.
Если диагональ проведена из нижнего левого угла в верхний правый, она называется побочной.
Историческая справка
“Волшебный квадрат” – под таким названием матрицы впервые упоминались в Древнем Китае, а позднее и у арабских математиков.
В 1751 году швейцарский математик Габриэль Крамер опубликовал “правило Крамера”, используемое для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Примерно в это же время появился “метод Гаусса” для решения СЛАУ путем последовательного исключения переменных (автор – Карл Фридрих Гаусс).
Существенный вклад в развитие теории матриц, также, внесли такие математики: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Фердинанд Фробениус и Мари Энмон Камиль Жордан. Сам же термин “матрица” в 1850 году был введен Джеймсом Сильвестром.