зачем нужно преобразование лапласа
Преобразованное определение Лапласа, история, для чего оно, свойства
трансформируется из Лапласа В последние годы большое значение в исследованиях инженерии, математики, физики, а также в других научных областях, а также большой интерес к теоретическим вопросам, предоставляет простой способ решения проблем, возникающих в науке и технике..
Первоначально преобразование Лапласа было представлено Пьером-Саймоном Лапласом в его исследовании теории вероятностей и первоначально рассматривалось как математический объект, представляющий чисто теоретический интерес.
Современные приложения возникают, когда различные математики пытались дать формальное обоснование «эксплуатационным правилам», используемым Хевисайдом при изучении уравнений электромагнитной теории..
определение
Говорят, что преобразование Лапласа существует, если предыдущий интеграл сходится, иначе говорят, что преобразование Лапласа не существует.
В общем, для обозначения функции, которую нужно преобразовать, используются строчные буквы, а заглавная буква соответствует ее преобразованию. Таким образом, мы будем иметь:
примеров
Рассмотрим постоянную функцию f (t) = 1. Мы имеем ее преобразование:
Преобразование может существовать или не существовать, например, для функции f (t) = 1 / t интеграл, определяющий его преобразование Лапласа, не сходится и, следовательно, его преобразование не существует..
Достаточные условия для гарантии того, что преобразование Лапласа функции f существует, состоит в том, что f непрерывна по частям при t ≥ 0 и имеет экспоненциальный порядок.
Говорят, что функция непрерывна по частям при t ≥ 0, когда для любого интервала [a, b] с a> 0 существует конечное число точек tК, где f имеет разрывы и непрерывен в каждом подинтервале [tK-1,TК].
С другой стороны, говорят, что функция имеет экспоненциальный порядок c, если существуют действительные постоянные M> 0, c и T> 0, такие что:
В качестве примеров мы имеем, что f (t) = t 2 имеет экспоненциальный порядок, так как | t 2 | 3т для всех t> 0.
Формально мы имеем следующую теорему
Теорема (Достаточные условия существования)
Важно подчеркнуть, что это условие достаточности, то есть это может быть случай, когда существует функция, которая не удовлетворяет этим условиям, и даже тогда существует ее преобразование Лапласа..
Преобразование Лапласа некоторых основных функций
В следующей таблице приведены преобразования Лапласа наиболее распространенных функций.
история
Преобразование Лапласа обязано своим именем Пьеру-Симону Лапласу, математику и французскому астроному-теоретику, который родился в 1749 году и умер в 1827 году. Его слава была такова, что он был известен как Ньютон Франции.
В 1744 году Леонард Эйлер посвятил свои исследования интегралам с формой
как решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но быстро отказались от этого исследования. Позже Джозеф Луи Лагранж, который очень восхищался Эйлером, также исследовал этот тип интегралов и связал их с теорией вероятностей..
1782, Лаплас
В 1782 году Лаплас начал изучать эти интегралы как решения дифференциальных уравнений, и, по мнению историков, в 1785 году он решил переформулировать проблему, которая позже породила преобразования Лапласа, как они понимаются сегодня..
Будучи введенным в области теории вероятностей, он не представлял большого интереса для ученых того времени и рассматривался только как математический объект, представляющий только теоретический интерес..
Оливер Хевисайд
В середине девятнадцатого века английский инженер Оливер Хевисайд обнаружил, что дифференциальные операторы можно рассматривать как алгебраические переменные, что дает их современное применение к преобразованиям Лапласа..
Оливер Хевисайд был английским физиком, инженером-электриком и математиком, который родился в 1850 году в Лондоне и умер в 1925 году. Пытаясь решать задачи дифференциальных уравнений, применяемых в теории вибраций и используя исследования Лапласа, он начал формировать современные применения преобразований Лапласа.
Результаты, представленные Хевисайдом, быстро распространились по всему научному сообществу того времени, но поскольку его работа не была строгой, его быстро раскритиковали более традиционные математики..
Однако полезность работы Хевисайда по решению уравнений физики сделала его методы популярными среди физиков и инженеров..
Несмотря на эти неудачи и после нескольких десятилетий неудачных попыток, в начале 20-го века можно было дать строгое обоснование эксплуатационным правилам, данным Хевисайдом..
Эти попытки окупились благодаря усилиям различных математиков, таких как Бромвич, Карсон, Ван дер Пол и другие..
свойства
Среди свойств преобразования Лапласа выделяются следующие:
линейность
В связи с этим свойством говорят, что преобразование Лапласа является линейным оператором.
пример
Первая теорема о переводе
Если это случится так:
пример
Поскольку преобразование Лапласа cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), то:
Вторая переводная теорема
пример
Если f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. И, следовательно, преобразование
Изменение масштаба
И «а» является ненулевым вещественным, мы должны
пример
Поскольку преобразование f (t) = sin (t) равно F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), оно должно быть
преобразование Лапласа производных
Преобразование Лапласа интегралов
Умножение на т N
Деление на т
Периодические функции
Пусть f периодическая функция с периодом T> 0, то есть f (t + T) = f (t), тогда
Поведение F (s), когда s стремится к бесконечности
Если f непрерывно по частям и экспоненциального порядка и
Обратные преобразования
Когда мы применяем преобразование Лапласа к функции f (t), мы получаем F (s), который представляет это преобразование. Таким же образом мы можем сказать, что f (t) является обратным преобразованием Лапласа F (s) и записывается как
Мы знаем, что преобразования Лапласа для f (t) = 1 и g (t) = t равны F (s) = 1 / s и G (s) = 1 / s 2 соответственно, поэтому мы должны
Некоторые общие обратные преобразования Лапласа следующие
Кроме того, обратное преобразование Лапласа является линейным, то есть выполняется
осуществление
Чтобы решить это упражнение, мы должны сопоставить функцию F (s) с одной из предыдущих таблиц. В этом случае, если мы берем n + 1 = 5 и используем свойство линейности обратного преобразования, мы умножаем и делим на 4! получение
Для второго обратного преобразования мы применяем частичные дроби, чтобы переписать функцию F (s), а затем свойство линейности, получая
Как мы видим из этих примеров, общепринято, что оцениваемая функция F (s) не совсем совпадает ни с одной из функций, приведенных в таблице. Для этих случаев, как это наблюдается, достаточно переписать функцию до достижения соответствующей формы.
Применение преобразования Лапласа
Дифференциальные уравнения
Используя свойство преобразования производной ясно, что
И из n-1 производных, оцененных при t = 0.
Это свойство делает преобразование очень полезным для решения начальных задач, в которых используются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами..
Следующие примеры показывают, как использовать преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений.
Пример 1
Учитывая следующую начальную задачу
Используйте преобразование Лапласа, чтобы найти решение.
Мы применяем преобразование Лапласа к каждому члену дифференциального уравнения
Для свойства преобразования производной имеем
Развивая все выражения и убирая А (и), мы остаемся
Используя частичные дроби, чтобы переписать правую часть уравнения, мы получим
Пример 2
Как и в предыдущем случае, мы применяем преобразование с обеих сторон уравнения и разделяем член на член.
Таким образом, мы имеем в результате
Подстановка с заданными начальными значениями и очистка Y (s)
Используя простые дроби, мы можем переписать уравнение следующим образом
И применение обратного преобразования Лапласа дает нам в результате
В этих примерах можно прийти к неверному выводу, что этот метод не намного лучше традиционных методов решения дифференциальных уравнений..
Преимущества, предлагаемые преобразованием Лапласа, заключаются в том, что нет необходимости использовать изменение параметров или беспокоиться о различных случаях метода неопределенных коэффициентов.
Помимо решения задач начального значения этим методом, с самого начала мы используем начальные условия, поэтому нет необходимости выполнять другие расчеты, чтобы найти конкретное решение..
Системы дифференциальных уравнений
Преобразование Лапласа также можно использовать для поиска решений одновременных обыкновенных дифференциальных уравнений, как показано в следующем примере..
пример
При начальных условиях x (0) = 8 e и (0) = 3.
Разрешение результатов в нас
И при применении обратного преобразования Лапласа мы имеем
Механика и электрические цепи
Преобразование Лапласа имеет большое значение в физике, в основном имеет применение для механических и электрических цепей.
Простая электрическая схема состоит из следующих элементов
Переключатель, батарея или источник, индуктор, резистор и конденсатор. Когда переключатель замкнут, вырабатывается электрический ток, который обозначается как i (t). Заряд конденсатора обозначается через q (t).
По второму закону Кирхгофа напряжение, создаваемое источником E для замкнутой цепи, должно быть равно сумме каждого падения напряжения.
Электрический ток i (t) связан с зарядом q (t) в конденсаторе как i = dq / dt. С другой стороны, падение напряжения определяется в каждом из элементов следующим образом:
Падение напряжения на резисторе равно iR = R (дк / дт)
Падение напряжения в индуктивности составляет L (di / dt) = L (d 2 д / д 2 )
Падение напряжения в конденсаторе составляет q / C
С этими данными и применением второго закона Кирхгофа к замкнутой простой схеме получается дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает систему и позволяет нам определить значение q (t)..
пример
Индуктор, конденсатор и резистор подключены к батарее E, как показано на рисунке. Индуктор имеет 2 Генри, конденсатор 0,02 Фарад и сопротивление 16 Ом. В момент времени t = 0 цепь замкнута. Найти нагрузку и ток в любой момент времени t> 0, если E = 300 вольт.
У нас есть то, что дифференциальное уравнение, которое описывает эту схему, является следующим
Если начальные условия q (0) = 0, i (0) = 0 = q ‘(0).
Применяя преобразование Лапласа, мы получаем, что
Затем, применяя обратное преобразование Лапласа, мы имеем
Преобразование Лапласа
содержание
Общий
Исследование функции изображения часто дает гораздо лучшее физическое понимание поведения линейных систем по сравнению с исследованиями во временной области. Прежде всего, резонансное поведение физических систем легче описать в частотной области. Из-за лучшей сходимости по сравнению, например, с преобразованием Фурье, передаточные функции все еще можно анализировать, даже если линейная система нестабильна.
история
Первые упоминания об идее преобразования Лапласа уже можно найти в работе базельского математика и физика Леонарда Эйлера (1707–1783, Institutiones Calculi Integratedis, vol. 2, 1768). Преобразование Лапласа названо в честь французского математика и астронома Пьера-Симона Лапласа (1749–1827), который ввел преобразование в 1782 году в рамках исследования вероятностей. Фактически, венгерский математик Йожеф Микса Петцваль (1807–1891) был первым, кто изучил его систематически, тогда как Лаплас использовал его только для решения своих задач. Однако работа Петцваля не привлекла внимания, в том числе потому, что один из его учеников ошибочно обвинил его в плагиате против Лапласа.
Примерно через сто лет британский инженер-электрик и физик Оливер Хевисайд (1850–1925) применил операторное исчисление, которое он нашел методом проб и ошибок, для решения дифференциальных уравнений в теоретической электротехнике. Немецкий математик Густав Дойч (1892–1977) заменил это преобразованием Лапласа, разработал его математические основы и сделал преобразование Лапласа широко используемым для решения многих задач математической физики и теоретической электротехники. Описываются краевые задачи. Теория и применение преобразования Лапласа были найдены в учебниках и программах теоретической электротехники и, прежде всего, в книгах по обыкновенным уравнениям и уравнениям в частных производных, по крайней мере, с начала 1960-х годов.
определение
существование
Примеры функций, для которых существует интеграл Лапласа, перечислены в таблицах соответствий ниже.
Указанных условий достаточно только для существования интеграла Лапласа. Если они не выполняются, необходимо провести дополнительные исследования.
Обратное преобразование Лапласа
утверждение
пример
В качестве примера рассмотрим обратное преобразование дробно-рациональных функций: для спектральной функции
может быть выполнено с (табличным, здесь примерно вычисленным) соответствием
Задайте обратное преобразование напрямую как
Важные приложения
можно нанести на карту. Решения преобразованных задач гораздо легче найти в области изображения, чем в исходной области. В особых случаях таким же образом могут быть решены линейные дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами.
Недостатком является обычно сложное обратное преобразование.
характеристики
Предельные наборы
Уникальность
Связь с преобразованием Фурье
Это интегральное преобразование иногда называют односторонним преобразованием Фурье.
Аналитические свойства
Аналитичность
Сопряженная симметрия
Еще одним важным свойством преобразования Лапласа функций реального времени является сопряженная симметрия в области комплексного изображения.
Ф. ( s ¯ ) знак равно Ф. ¯ ( s ) <\ Displaystyle F (<\ bar >) = <\ bar 
или разделены на действительную и мнимую части
Конечное преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа образует функцию конечного времени
Физическое измерение
В приложениях преобразования Лапласа размерность также является преобразованием Лапласа.
Таблицы соответствий
Общие свойства
Таблица соответствия
пример
Ниже показано решение задачи начального значения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами с использованием преобразования Лапласа:
d d т ж ( т ) + λ ж ( т ) знак равно 0 <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ mathrm
Вышеупомянутое дифференциальное уравнение описывает простые процессы роста и уменьшения и, следовательно, может быть обнаружено во многих областях, в том числе. в естественных, экономических и социальных науках.