зачем нужно округление чисел
Как правильно округлять числа после запятой
Далеко не все умеют округлять числа правильно. Например, купив товар за 1469 рублей, чаще всего люди говорят, что потратили полторы тысячи. В целом это так, но некоторые правила округления нарушаются. Чтобы этого избежать, мы с вами поговорим о том, как правильно работать с числами.
Зачем нужно округление
Округлять числа необходимо для точности измерений. В некоторых сферах жизни погрешности в расчетах могут иметь очень серьезные последствия. Для этого существует метрология — наука, изучающая правила округления чисел и погрешности.
Приведем несколько примеров, в которых неправильное округление не приведет ни к чему страшному:
Однако есть ситуации, где правильное округление является необходимостью. Наверняка читатель мог подумать, зачем нужна какая-то наука об округлении? Ведь все просто — округлять можно как в большую, так и в меньшую сторону, в зависимости от личной выгоды. Такой принцип применим не ко всем сферам жизни. Науку об округлении в первую очередь необходимо изучать инженерам-электроникам.
Люди, которые учились в технических институтах, знают, что при разработке определенных приборов необходимо провести много различных расчетов. Чаще всего промежуточными результатами этих расчетов являются нецелые числа. Чтобы они не повлияли на конечный результат, их нужно округлять только по определённым правилам либо вообще этого не делать, а работать с конечным результатом.
Суть в том, что погрешность может быть довольно велика (около 5 процентов), и это может плохо кончиться. Например, посчитанное значение напряжения тока в электрической цепи может быть неподходящим, и техническое устройство работать не будет. Или того хуже, инженера может ударить током.
Чтобы избежать подобных казусов, студентам технических вузов и инженерам необходимо знать правила округления.
Правила округления чисел
В основе округления лежат математические правила:
В метрологии — науке об округлениях и погрешностях, результат принято округлять до двух значащих цифр. Что же это значит? Значащая цифра — это цифра от первой, отличной от нуля.
Есть три случая, для которых есть свои особенности округления:
Когда мы имеем дело с числами меньше единицы, необходимо округлять результат до двух знаков после запятой. Например, число 0,7342. Округляем это число до 0,734, а потом до 0,73. Именно так и должен быть округлён результат. Первый ноль не является значащей цифрой.
Попробуем округлить 8,357. Первая цифра 8 является значащей, так как она отлична от нуля. Соответственно, нам необходимо округлить результат до одного знака после запятой. Согласно правилам, о которых мы говорили выше, результат будет равен 8,4.
Теперь самый сложный случай. Попробуем округлить 47,336. Так как все цифры отличны от нуля, мы будем округлять результат до целого числа. По математическим правилам он будет равен 47. Если мы имеем дело с трёхзначным числом, необходимо округлить результат до двух знаков, после чего умножить на 10 в нужной степени. Пример: округляем 4289,346 и получаем 43, умноженное на десять в квадрате.
Именно для того и нужна метрология, чтобы правильно округлять и записывать результат в технической документации. А также для избежания ошибок при ведении расчетов в разработке технических устройств.
Заключение
Теперь вы знаете, как правильно округлять и сможете делать все необходимые расчеты самостоятельно. Главное, доходы округлять в меньшую сторону, а расходы — в большую. И тогда вам точно будет хватать денег на все покупки, и останется небольшая сумма, которую можно потратить на развлечения. Успехов вам!
Видео
В нашем видео подробно рассказано о правилах округления чисел — с примерами.
Правильное округление чисел
Приближенные значения
В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.
У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин, иногда можно использовать приближенные значения.
Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.
Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.
Если длина платья 1м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.
Приближенное значение — число, которое получилось после округления.
Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.
Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.
Округлить число значит сократить его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.
Округление натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее.
Особенности натуральных чисел:
Округление натурального числа — это замена его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.
Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
Правила округления чисел:
Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.
После подчеркнутой цифры стоит 8, значит к цифре разряда тысяч (в данном случае 7) прибавим 1. На месте цифр, отделенных вертикальной чертой, ставим нули.
Теперь округлим 756 485 до сотен:
Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.
Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу — в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в соседнем старшем разряде увеличивается на 1.
Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:
Округление десятичных дробей
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:
Разряды целой части:
Разряды дробной части:
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.
Рассмотрим десятичную дробь 7396,1248. Здесь целая часть — 7396, а дробная — 1248. При этом у каждой из них есть свои разряды, которые важно не перепутать:
Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
То натуральное число, к которому дробь ближе, называют округленным значением числа.
Цифра, которая записана в данном разряде:
Как округлить до целых. Заменить десятичную дробь ближайшим к ней целым числом. Ближайшим будет наименьшее расстояние. При этом если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.
Как округлить до десятых. Оставить одну цифру после запятой. Изи!
Как округлить до сотых. Оставить две цифры после запятой.
Все цифры, которые стоят справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули стоят в дробной части числа, то их можно не писать.
Пример 1.
256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;
4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;
17,935 ≈ 18 — округление до целых.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.
Пример 2.
79,7 ≈ 80 — округление до десятков;
0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.
Математическое округление и его правила быстро запомнится, если не лениться решать примеры и задачки из учебников 5 класса. А после можно пользоваться онлайн калькулятором, чтобы выиграть время и решать быстрее всех.
Статья «Больше, меньше или равно» может оказаться для тебя полезной!
Правила округления чисел после запятой
Всего получено оценок: 96.
Всего получено оценок: 96.
Округление очень часто встречается в физике и химии, однако правила округления чисел после запятой это именно математика. Правильно округлять достаточно просто, нужно лишь один раз запомнить принцип. Рассмотрим тему подробнее.
Что такое округление?
Нередко случаются ситуации, когда итогом вычисления служит бесконечное число. Это дробь с неограниченным числом знаков после запятой. Такое чаще всего возникает в результате деления чисел. Среди бесконечных дробей выделяют:
Циклическая бесконечная дробь в математике считается определенным числом, так как каждое следующее число можно предсказать. При этом простые бесконечные дроби вычисленными не считается. Наиболее известным не вычисленным числом считается число пи, у которого на сегодняшний день вычислено 2,7 триллиона знаков после запятой.
Зачем нужно округлять числа?
В математике числа округляют для записи в ответ. Запомните, только в редких случаях число после округления можно использовать в вычислениях. Дело в том, что каждое округление в процессе расчета отдаляет результат от реальности.
Это допустимо, когда расчетов меньше 10. Но в школе вырабатывается навык округления, а в профессиональной деятельности грубые ошибки недопустимы.
Кроме того, существует ряд ситуаций в физике, химии, инженерии, когда требуется выполнить грубый расчет. Для него так же можно использовать округление. Округляют результаты, как правило, до сотых. Это значит, что в числе после округления в числе после запятой должно остаться 2 знака.
Правила округления чисел
Согласно правилу округления нужно решить, до какого числа округляется значение. После этого нужно посмотреть на цифру, которая стоит после выбранной:
Рассмотрим пример округления числа после запятой. Сначала округлим до сотых число 1,235. После позиции сотых, на позиции тысячных находится число 5, значит, при округлении добавляем к сотым 1. Значит, если округлить 1,235, то получится 1,24.
Чем меньше число, до которого округляется результат, тем выше точность после округления. Можно округлять даже до десятков и сотен, однако, результаты таких округлений оставляют желать лучшего. Поэтому в большей части вычислений и округляют до сотых.
Что мы узнали?
Мы поговорили о правилах округления чисел после запятой. Узнали, как правильно округлять числа, а также рассказали, как округления влияют на точность числа. Сказали, до каких чисел округляются значения в рядовых математических вычислениях.
Красота чисел. Адаптация чисел для мозга: округление и лингвистические модификаторы
Представитель народа пирахан из Амазонии пытается уложить в ряд такое же количество батареек, какое он видит на другой стороне стола. Во время другого теста нужно нарисовать в тетради справа такое же количество палочек, какое нарисовано слева
Человеческий мозг плохо приспособлен для представления и обработки цифр. Эволюция не сформировала этот навык. По большому счёту, цифры вообще не требуются для выживания, то есть для древнего человека знание арифметики не было эволюционным преимуществом. Такое эволюционное преимущество у индивидов появилось только после изобретения торговли и финансов. До этого древним людям в общении было достаточно слов «один», «два» и «много». Собственно, этими словами ограничены способности обычного человека и сегодня, если он не прошёл специальное обучение.
У людей исключительно слабые врождённые способности по обработке цифр: человек без подготовки обычно способен отличать числа только до трёх или четырёх. Это навык, который нужно специально осваивать и тщательно тренировать. Размышление о цифрах может активировать одновременно несколько когнитивных систем в мозге, в том числе систему обработки визуальной информации, как показало научное исследование Бурра и Росса 2008 года. Для такой сложной задачи в мозге просто нет специализированного отдела (арифметического сопроцессора), поэтому приходится задействовать сторонние отделы, приспосабливая их для этой задачи.
Изобретение чисел было необходимо для появления торговли. Во всех человеческих обществах, где изобрели торговлю, примерно в то же время изобрели цифры и системы счисления. Но есть отдельные человеческие общества, в которых не изобрели цифр и нет системы счёта хотя бы по пальцам. Изучение представителей этих племён показало, что им очень трудно справляться с любыми числами больше трёх. Представители этих племён наглядно демонстрируют врождённые способности человеческого мозга к счёту, без дополнительной подготовки. Они свободно оперируют только количествами «один», «два» и «много».
Различные системы счисления неоднократно изобретались в человеческой истории, разными народами в разные периоды времени. Каждый народ находил своё решение этой проблемы. Достаточно вспомнить продвинутую узелковую письменность кипу, которую изобрели инки около III тыс. до н.э. Это один из самых древних (после шумерской клинописи и египетских иероглифов) видов письменности у человечества.
Узелковая письменность кипу состояла из числовых записей десятичной системы кодирования, а также не числовых записей в двоичной системе кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Некоторые из этих понятий нашли повторное применение только с изобретением реляционных баз данных информационной эпохи 20 века.
Изобретение системы счисления и соответствующей письменности — ключевой этап развития любой человеческой цивилизации, когда она выходит на новый уровень развития. Когда человек освоил эту письменность и научился оперировать абстрактными числами в уме — перед ним открываются совершенно новые возможности и новые области познания.
У большинства современных людей такие навыки есть. Цифры окружают нас повсюду — в книгах, газетах, в магазине и на деньгах, которые для многих являются важнейшим объектом в жизни, мерой и оценкой жизненного достоинства и положения в обществе. Если раньше социальное положение самца в группе определялось невербальными факторами, то теперь оно хорошо коррелирует с цифрой, в которую оцениваются его материальные активы.
Понимая огромную важность цифр и денег в современном обществе, нужно всё-таки помнить о том, что абстрактное мышление и представление цифр совершенно неестественно для человека. Поэтому мозг старается придумать всякие трюки, чтобы облегчить себе задачу.
Округление чисел
Один из таких трюков нашего мозга, чтобы облегчить работу с числами — округление. Наверняка все замечали на себе и окружающих, что мы питаем особое пристрастие к некоторым числам. Конечно, у всех это проявляется по-разному. Например, Илон Маск в своих инженерных проектах любит использовать особые числа из книги «Автостопом по Галактике»: именно поэтому на будущий корабль, который доставит первых колонистов на Марс планируют устанавливать 42 двигателя.
Но всё-таки у большинства обычных людей наиболее запоминающимися и простыми в использовании являются числа, которые заканчиваются на 5 и 0. Археологические исследования показали, что пристрастие к таким числам питают не только современные люди, но и представители древних цивилизаций, в том числе древние римляне и даже многие первобытные народы из разных частей света.
Несложно догадаться, что округление чисел до 5 и 0 связано с нашим использованием десятичной системы счисления. В свою очередь, десятичная система как наиболее естественная для человеческого мышления, основана на количестве пальцев на руках (две руки по пять пальцев).
Абстрактное мышление и операции с цифрами неестественны для мозга, а вот пальцы на руках — это наглядно, привычно и естественно. Таким образом, мозг может приспособить неестественную и трудную задачу, сведя её к простым и понятным манипуляциям. Именно поэтому людям свойственно окрулять числа до 5 и 0.
Как замечает известный популяризатор науки Яков Перельман в своей книге «Занимательная арифметика», часто при переписи населения наблюдается чрезмерное обилие людей, возраст которых оканчивается на 5 или на 0; их гораздо больше, чем должно бы быть. Конечно, причина кроется в том, что люди не помнят твёрдо, сколько им лет, и невольно округляют свой возраст.
Что характерно, такое же округление возраста встречается на могильных камнях древних римлян. То есть там тоже чаще всего встречаются цифры 5 и 0 в обозначении возраста. Одно из научных исследований поставило целью определить популярность различных цифр в обозначении возраста на памятниках древних римлян и в надгробиях на кладбищах современного штата Алабама, населённого преимущественно чернокожим населением. Выяснилось удивительное соответствие. Частота повторяемости цифр возраста у древних римлян и современных негров совершенно одинакова. Цифры составляют одинаковую последовательность:
0, 5, 8, 2, 3, 7, 6, 4, 9 и 1
И дело не только в возрасте. Судя по всему, это чистая психология. В том же научном исследовании приводились результаты различных опытов, где людям предлагали определить «на глаз», сколько миллиметров заключает в себе полоска бумаги, например, в палец длиной. Опрос современных европейцев и анализ результатов выдал ту же самую последовательность:
0, 5, 8, 2, 3, 7, 6, 4, 9 и 1
Вряд ли это можно считать случайностью. Представители различных народов, люди разных эпох проявляют одинаковые пристрастия в выборе цифр.
Почему цифры 8 и 2 популярнее и удобнее для мозга, чем цифры 9 и 1? На этоот вопрос нет однозначного ответа, хотя можно выдвигать разные версии. Очевидно только то, что цифры 5 и 0 связаны с удобным для мозга округлением чисел, в привязке к десятичной системе счисления.
Округление чисел происходит не только на подсознательном уровне. Некоторые дельцы умело манипулируют этой особенностью человеческого мышления. Например, при собеседовании на работу соискателю обычно предлагают зарплату, округлённую в большую сторону. Например, 100 000 вместо 95 000, потому что цифра 100 000 кажется более солидной и значительной, чем 95 000.
Лингвистические модификаторы
Изначально цифры и системы счисления изобретались для того, чтобы поддержать торговлю, которая не могла оперировать привычными понятиями, такими как «несколько», «много», «больше», «меньше», «чуть-чуть». После введения цифр они стали интегрированной частью языка и теперь постоянно используются в речи. Числа позволяют абсолютно точно и чётко определить количество объектов.
Но высокая точность цифр имеет и обратную сторону — это не всегда удобно, а иногда практически невозможно указать точное число. Поэтому в повседневной речи по-прежнему используются слова, которые выполняют роль лингвистических модификаторов, заменяя и смягчая излишнюю точность обычных чисел.
Лингвистические модификаторы определяются как слова, способные изменять аспекты значений других слов, на которые они направлены. Модификаторы можно рассматривать как некую разновидность как некую разновидность эвфемизмов.
Эвфемизмы и модификаторы имеют критически важное значение в общении людей. Иначе мы бы очень сильно обижали друг друга, говоря точную правду без обиняков. Благодаря этим вспомогательным лингвистическим конструкциям мы можем смягчать высказывания — говорить правду, но в приятных формулировках.
Например, во фразе «Ты сильно растолстел в последнее время» в повседневном общении использовать эвфемизм «поправился» для глагола «растолстел», подробнее см. также концепцию «вежливого вымысла», когда все участники разговора знают правду, но предпочитают верить в альтернативную версию событий, чтобы избежать конфликта.
Модификаторы тоже важны в разговоре, потому что дают дополнительную информацию о намерениях собеседника. Например, модификаторы «кстати» и «между прочим» указывают на желание сменить тему разговора. Защитные модификаторы «я думаю», «мне кажется» используются для смягчения высказываний, так же как вышеупомянутый эвфемизм «поправился» вместо «растолстел». Мастера устных переговоров умело и обильно применяют одновременно и эвфемизмы, и модификаторы.
Как показывают лингвистические исследования, модификаторы очень часто используются рядом с цифрами или вместо них. Это объясняется слишком высокой точностью цифр, которая в разговоре не всегда уместна. Например, в обсуждении или споре использование цифры без модификатора делает человека уязвимым — его можно прямо уличить во лжи или неточности, если цифра хотя бы на мизерную часть не соответствует действительности.
Например, модификатор «около» размывает границы значения примерно на 10%, хотя конкретные значения нижней и верхней границы зависят от конкретного числа.
Около (примерно) 105 человек пришло на вечеринку
обычно означает, что на вечеринку пришло от 100 до 110 человек.
С другой стороны, фраза без модификатора
105 человек пришло на вечеринку
не имеет верхней и нижней границы допустимых значений. Таким образом, её можно воспринимать либо как абсолютно точное документальное утверждение, либо как примерную оценку, но с меньшим диапазоном границ. Вероятно, допустимо понятными значениями будут от 103 до 107 человек.
Таким образом, модификатор «около (примерно)» значительно расширяет диапазон допустимых значений.
Интересно, что круглое число само по себе предполагается как числовой модификатор с расширенным диапазоном границ для нижнего и верхнего значений.
1000 человек вышло на акцию протеста
сама по себе предполагает, что количество протестантов не является в точности 1000 человек. Такая фраза, фактически, синонимична выражению «Около 1000 человек вышло на акцию протеста» (точное количество составляет примерно от 800 до 1200). Соответственно, в данном случае уже нет смысла использовать модификатор «около (примерно)» для расширения диапазона. Наоборот, есть смысл использовать другой модификатор «точно» для сужения диапазона.
Точно 1000 человек вышло на акцию протеста
устраняет диапазон полностью и означает, что на акцию вышло конкретно 1000 человек, ни одним больше, ни одним меньше.
Численная оценка речевых аппроксиматоров
Лингвисты неоднократно пытались формализовать использование цифровых модификаторов. Например, Центральное разведывательное управление США на основе научных исследований в 1964 году составило такую таблицу трансляции речевых апроксиматоров вероятности в конкретные числовые значения и наоборот.
100% — определённо (несомненный факт). В данном
93% — почти наверняка
75% — вероятно
50% — шансы примерно равны
30% — скорее всего, нет
7% — почти наверняка нет
0% — невероятно
ЦРУ приводит конкретный список словесных оборотов, которые соотвествуют каждой вероятности события. Например, для вероятности 75% уместны фразы «нам кажется», «мы считаем», «наверное». Для вероятности 93% уместны фразы «весьма вероятно», «скорее всего», «практически наверняка».
В последнее время лингвисты более тщательно изучили эту проблему. Например, Скотт Ферсон с коллегами предлагает следующую таблицу перевода аппроксиматоров английского языка в конкретные численные значения.
Значение d соответствует существенным десятичным знакам после запятой для конкретного числа x. например, если x = 7, то d = 0. Если x = 7,0 или 7,1, то d = 1. Если x = 700, то d = −2.
Этой таблицы желательно придерживаться в устной и письменной речи, если мы хотим формализовать значение модификаторов.