зачем нужна формула эйлера

Несмотря на простоту записи, эта формула несёт принципиально важную идею и находит применение почти во всех современных точных исследованиях и разработках.

Общие сведения

Формула Эйлера утверждает, что:

Формула, связывающая тригонометрические и функции экспоненциальные выражения, имеет множество применений. Она позволяет рассчитать некоторые выражения, решения которых невозможно или проблематично вычислить другим путём.

Необходимо лишь превратить исходные формулы в конструкцию, которая будет содержать удобные для проведения дальнейших операций функции.

Экспоненциальные и тригонометрические выражения обладают столь многочисленными свойствами, что имеют наиболее широкую область использования. Это делает неочевидную связь между ними особенно полезной.

История создания

Формулу в привычном для людей виде опубликовал Эйлер в статье 1740 года. В 1748 году выражение было также представлено в его книге «Введение в анализ бесконечно малых». Эйлер доказал формулу на основе бесконечных разложений составляющих формулы в степенные ряды.

Но учёные того времени не рассматривали геометрической интерпретации формулы, которая используется на сегодняшний день. Представление о комплексных числах в виде точек на комплексной плоскости, на основе которого строится геометрическая интерпретация равенства, появилось примерно на 50 лет позже в работах К. Весселя.

Доказательство формулы

Вывод формулы Эйлера можно выполнить, используя ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора при разложении функции в окрестности точки x=0. Раскладывая левую часть равенства, получится cтепенной ряд, в котором в различные степени будет возводиться мнимая единица. Необходимо вынести её, сформировав коэффициент перед x.

С другой стороны, из всех членов, где мнимая единица стоит в нечётной степени, она выносится за скобки. В них останется выражение, подобное тому, которое вышло для чётных степеней.

После разделения мнимых и вещественных членов последовательности и расстановки чередующихся знаков формируются две группы слагаемых, которые представляют собой разложения других функций – синуса и косинуса. При их подстановке получится равенство Эйлера.

Использование

Геометрическая интерпретация позволяет наглядно отобразить математические преобразования. Для этой цели используется комплексная плоскость. Она геометрически отображает комплексные величины: вдоль горизонтальной оси откладывается вещественная часть числа, а вдоль вертикальной – мнимая. Таким образом, число отражается точкой с координатами, представляющими собой вещественную (Re) и мнимую (Im) его части. Часто для удобства используется вектор, проведённый из начала координат в эту точку (радиус-вектор). Несложно понять, что его координаты совпадают с координатами той самой точки.

В геометрической интерпретации рассматривается единичная окружность (радиус равен единице). Для любой точки, принадлежащей окружности, можно построить прямоугольные треугольники, опуская перпендикуляры на оси координат. Это позволяет сделать переход в полярную систему координат, которая удобна для пояснения другой формы числа.

В ней положение точки определяется не расстояниями, отложенными на осях, а длиной вектора, проведённого в точку из начала координат и углом поворота относительно оси (вещественной).

Из свойств прямоугольного треугольника следует, что синус используемого угла равен отношению мнимой части числа (противолежащего катета) к длине вектора (гипотенузе). Так как длина гипотенузы равна единице (радиус окружности), то мнимая часть числа равна синусу угла. Аналогично вдоль вещественной оси откладывается расстояние, равное косинусу этого угла. Теперь для получения числа в новом виде осталось только сложить его части, не забыв умножить мнимую на i. Таким образом, исходное число равно:

Последняя конструкция в точности повторяет выражение, стоящее в правой части равенства Эйлера. Значит, благодаря ей появляется возможность отобразить комплексную величину по-новому – через экспоненту:

Комплексный анализ

Формула играет важную роль в комплексном анализе. На её основе строится связь тригонометрической и показательной форм записи комплексного числа, которая отображена в только что полученной формуле.

Нельзя ограничиваться единичной окружностью. Как отобразить любую точку комплексной плоскости в новом виде? Можно это представить очень просто: будет изменяться радиус. Тогда числа, выраженные через синус и косинус, будут умножаться на длину гипотенузы (радиус окружности). Эта длина называется модулем комплексной величины, а угол поворота – аргументом.

Модуль обозначается так же, как и обычный модуль для вещественного числа, ведь он представляет просто более общий случай. В то же время для аргумента стало использоваться новое обозначение – arg.

И синус, и косинус умножаются на модуль. Следовательно, его можно вынести за скобки. Что осталось в скобках? – Всё та же правая часть любимой формулы. Можно заменить содержимое скобок на экспоненту.

Таким образом, имеется три формы записи комплексного числа:

Последние две связаны между собой за счёт формулы Эйлера. Зачем их три? Новичку, как правило, приятно использовать алгебраическую, ведь она проще выглядит: лишь сумма двух чисел. Но некоторые операции очень сложно либо даже невозможно осуществить, используя лишь её.

Так что часто приходится переводить число из алгебраической формы в тригонометрическую, которая имеет ряд полезных особенностей. А вот перейти к показательной форме от тригонометрической не составит труда – копируется аргумент числа и вставляется в степень e, умножив на i.

Производные формулы

Формула Эйлера выражает экспоненту через тригонометрические функции, но можно получить и обратное преобразование. Применимость её для таких целей очевидна. Заменяют x на –x. Косинус – чётная функция, синус – нечётная. В результате замены происходит изменение знака перед синусом.

Сложение и вычитание полученных выражений приводит к уравнению, с одной стороны которого располагается удвоенный косинус или синус, а с другой – комбинация экспонент. Выразить отсюда тригонометрическую функцию не составит труда.

Эти формулы имеют большое значение при работе с преобразованиями комплексных величин. Например, они могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной.

При обычном рассмотрении тригонометрических функций не удаётся получить значения для комплексного аргумента, зато есть возможность поставить такое значение в только что полученную формулу. В результате преобразований можно получить значение, которое выражается лишь через косинусы и синусы вещественной переменной, а также гиперболические косинусы и синусы, опять же, с вещественными аргументами.

Таким образом, для получения значений ряда функций комплексных используются следствия формулы Эйлера.

Пример применения:

Также эти формулы значительно упрощают некоторые расчёты. С их помощью можно получить многие тригонометрические тождества путём проведения преобразований и дальнейшей обратной замены.

Кроме того, из формулы вытекает известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант. Оно представляет собой частный случай при x=π. При подстановке числа π синус обращается в 0, а косинус принимает значение 1.

Остаётся лишь перенести 1 в другую часть уравнения, чтоб получить все пять констант в явном виде.

Тождество было опубликовано Эйлером в 1740 году и вызвало общественный резонанс. Имели место даже попытки мистического толкования как символа единства математики. Ведь тождество связывает величины, произошедшие из разных разделов математики:

Наглядное доказательство

Существуют альтернативные доказательства, как для почти любых математических выражений. Более наглядное отображение может дать рассмотрение производной выражения в показательной форме, а именно от числа с модулем, равным единице.

Производная экспоненты равна той же самой экспоненте, но с одним изменением: необходимо умножить её значение, на которое умножался аргумент в степени.

Умножение на i аналогично повороту на 90 градусов. Полученный угол даёт возможность провести аналогию с центростремительной силой – подтверждается то, что точка движется по окружности с центром в начале координат. Но в то же время, для этой же окружности действует отображение точек через сумму косинуса и синуса. Отсюда вытекает взаимное соответствие комплексной экспоненты и тригонометрических функций.

В науке и технике

В комплексном анализе для возведения числа в степень его переводят в тригонометрическую или показательную форму. Например, возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме легко произвести, пользуясь формулой Муавра. Тем не менее, показательная форма позволяет сократить объёмы записей, не усложняя их. Так что имеет смысл проводить промежуточные расчёты, используя именно её. Хотя для простых случаев есть возможность просто вычислять корни и степени с помощью онлайн-калькуляторов. Они тоже используют переходы между формами комплексного числа.

Согласно формуле Муавра, при возведении комплексного числа в степень необходимо возвести в эту степень модуль числа и умножить аргумент на тот же показатель степени. Для вычисления корня производятся аналогичные операции: взятие корня и деление соответственно.

Но для получения всех корней необходимо учитывать возможность сдвига аргумента 2π и кратные ему значения (при повороте на полный оборот попадают в ту же точку – то же число). В связи с этим, при взятии корня образуется также множество результатов, но сдвиг между ними в равное показателю корня раз меньший. Следовательно, на каждый оборот приходится несколько корней, что необходимо учитывать в большинстве расчётов.

Ещё более широкие перспективы открываются благодаря свойству экспоненты при дифференцировании и интегрировании переходить самой в себя. Задачи решаются на порядок проще, чем при проведении вычислений с тригонометрическими функциями. Как следствие, показательная форма комплексного числа и формула Эйлера широко применяются в физике и технике, а также множестве программных алгоритмов.

Источник

Формула Эйлера для комплексных чисел

Вы будете перенаправлены на Автор24

Формула Эйлера названа именем известного математика Л. Эйлера, который ввел данную формулу. Формула Эйлера позволяет связать комплексную экспоненту (показательную функцию) с тригонометрическими функциями.

\[e^ =\cos x+i\cdot \sin x,\]

Экспонента определяется следующей формулой:

Далее используя формулу Эйлера, получаем следующее:

\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot e^ .\]

Известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант:

Благодаря формуле Эйлера появились тригонометрическая и показательная формы представления комплексного числа.

\[z=a+bi=|z|\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi ).\]

Рассмотрим комплексное число, представленное в тригонометрической форме

\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ).\]

С помощью формулы Эйлера, получим:

Подставим полученное значение в тригонометрическую запись некоторого комплексного числа и получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Значительным следствием из формулы Эйлера считаются формулы возведения некоторого комплексного числа в степень с произвольным показателем:

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac<0> <2>=arctg0=0.\]

Подставим полученные значения и получим:

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

Подставим полученные значения и получим:

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(-1+0\cdot i\right)=-1+0\cdot i.\]

Источник

Число Эйлера (e)

Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом.

Способы определения числа e (формула):

1. Через предел:

Второй замечательный предел:

Альтернативный вариант (следует из формулы Муавра – Стирлинга):

2. Как сумма ряда:

Свойства числа e

1. Предел обратного числа e

2. Производные

Производной экспоненциальной функции является экспоненциальная функция:

Производной натуральной логарифмической функции является обратная функция:

3. Интегралы

Неопределенный интеграл натуральной логарифмической функции log_e x:

Определенный интеграл от 1 до e обратной функции 1/x равен 1:

Логарифмы с основанием e

Натуральный логарифм числа x определяется как базовый логарифм x с основанием e:

Экспоненциальная функция

Это показательная функция, которая определяется следующим образом:

Формула Эйлера

Комплексное число e iθ равняется:

Источник

Функция Эйлера

Содержание

Функция Эйлера [ править ]

Функция [math]\sigma(n)[/math] [ править ]

Функция [math]\sigma : \mathbb \to \mathbb [/math] определяется как сумма делителей натурального числа [math]n[/math] :

[math]\displaystyle\sigma(n) = \sum_d [/math]

В силу мультипликативности функции:

Функция [math]\tau(n)[/math] [ править ]

Функция [math]\tau: \mathbb \to \mathbb [/math] определяется как число положительных делителей натурального числа [math]n[/math] :

[math]\displaystyle\tau(n) = \sum_1 [/math]

[math]\displaystyle\tau(p^s) = s + 1 [/math]

В силу мультипликативности функции:

[math] \displaystyle \tau(n) = \prod_^(s_i + 1) [/math]

Функция [math]\varphi(n)[/math] [ править ]

В силу мультипликативности функции:

Малая теорема Ферма и теорема Эйлера [ править ]

Следствием теоремы Эйлера является малая теорема Ферма. У нее также есть доказательство без использования более общей теоремы Эйлера, однако его мы приводить не будем.

Различные свойства функции Эйлера [ править ]

Пусть [math](m,\,n)=d,[/math] тогда [math]m = m’d, \; n = n’d,[/math] причем в общем случае [math](m’,\,d) \neq 1[/math] и [math](n’,\,d) \neq 1.[/math] Поэтому можно записать:

Здесь первые [math]k[/math] делителей [math]d[/math] являются также делителями [math]m’,[/math] а последние [math]K-k[/math] делителей [math]d[/math] являются делителями [math]n’.[/math] Распишем:

В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы

где [math]p[/math] — простое, получаем:

В первой строке записано [math]\varphi(m),[/math] во второй — [math]\varphi(n),[/math] а третью можно представить, как [math]\frac<\varphi(d)>.[/math] Поэтому:

[math]\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n) \cdot \frac<\varphi(d)>[/math]

Применение теоремы Эйлера в других задачах [ править ]

Задача об ожерельях [ править ]

В ходе решения задачи мы приходим к формуле [math]|C| =[/math] [math] \dfrac <1>[/math] [math]\sum\limits_^ k^<\mathrm(i,n)>[/math]

Алгоритм [ править ]

Источник

Математические основы криптографии

Формула Эйлера

Рассмотрим число \(N\geqslant 1\) и все числа в пределах от \(0\) до \(N-1\), взаимно простые с \(N\). Договоримся далее называть такие числа приведённой системой остатков.

Рассмотрим по модулю \(N\) произведение всех остатков приведённой системы:

Выберем произвольный остаток приведённой системы \(a\) и для каждого \(a_i\) выберем такой остаток приведённой системы \(A_i\), для которого выполнено

Упражнение: поймите, почему для каждого \(i\) такой остаток существует и единственный.

Продолжим рассматривать произведение всех остатков приведённой системы:

\[ a_1 a_2 \ldots a_m \equiv_N (aA_1)(aA_2)\ldots (aA_m) \]

Воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения:

\[ a_1 a_2 \ldots a_m \equiv_N a^m A_1 A_2 \ldots A_m \]

Заметим, что все \(A_i\) различны. Поскольку их ровно столько же, сколько и всего остатков приведённой системы, то последовательность всех \(A_i\) является перестановкой последовательности всех \(a_i\).

\[ a_1 a_2 \ldots a_m \equiv_N a^m (a_1 a_2 \ldots a_m) \]

А учитывая взаимную простоту \(a_i\) и \(N\), получаем

Это сравнение называется формулой Эйлера, а \(m\) — значением функции Эйлера на числе \(N\).

Далее функцию Эйлера мы будем обозначать буквой \(\varphi\).

Итого: если \(a\) и \(N\) взаимно просты, то

Полезные следствия

Пусть при этом \(a\) взаимно просто с \(\varphi(N)\) и \(A\) взаимно просто с \(N\).

Допишем к этому сравнению формулу Эйлера (взаимная простота \(x\) и \(N\) следует из таковой для \(A\) и \(N\)):

К подобной паре сравнений можно применить мультипликативный алгоритм Евклида. Сейчас мы покажем, как такие сравнения «делить друг на друга с остатком».

Пусть имеется пара сравнений

причём \(a = bk + r\). Тогда

То есть мы получили

откуда можно получить сравнение вида \(x^r \equiv_N C\).

Алгоритм Евклида закончится на сравнении

\[ x \equiv_N \mathfrak \]

Более того, правую часть легко выразить через исходные данные: вместо мультипликативного алгоритма Евклида можно было найти любое решение уравнения

(более того, во многих случаях это ещё и эффективнее с вычислительной точки зрения).

Осталось заметить, что

Поэтому найденный кандидат на звание решения действительно является решением.

PS Заметим, что именно на подобной схеме основан алгоритм RSA. В вышеиспользуемых обозначениях для двух простых различных чисел \(p\) и \(q\)

Быстрое вычисление функции Эйлера

Начнём с того, что \(\varphi(1) = 1\) (среди чисел от \(0\) до \(0\) с единицей не взаимно прост этот самый ноль). Но это — бесполезный факт.

Если \(N\) — простое число, то, очевидно

поскольку среди чисел от \(0\) до \(N-1\) с \(N\) не взаимно прост только ноль.

Если \(N=p^k\), где \(p\) — простое число, то

поскольку с \(p^k\) не взаимно просты числа, кратные \(p\), и только они.

Если же \(N=ab\), где \(a\) и \(b\) взаимно просты, то из КТО следует

\[ \varphi(a\cdot b) = \varphi(a)\cdot\varphi(b) \]

Чуть подробнее: сравнение \(x\equiv_ m\) согласно КТО эквивалентно системе

\[ \begin x & \equiv_a A \\ x & \equiv_b B \end \]

Нетрудно при этом заметить, что \(m\) в таком соответствии взаимно просто с \(ab\) тогда и только тогда, когда \(A\) взаимно просто с \(a\) и \(B\) взаимно просто с \(b\).

Источник