применение комплексных чисел на практике

Исследовательская работа: «Комплексные числа» (10 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №19 г. Новоалтайска»

Выполнил: Мухаметов Дмитрий

ученик 10 т класса

Руководитель: С. В. Куличенко

высшей квалификационной категории

Глава 1. Комплексные числа и их свойства

· Геометрическое изображение комплексных чисел

· Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

· Показательная форма записи комплексных чисел

· Свойства комплексных чисел

Глава 2. Действия над комплексными числами

· Возведение в степень

· Комплексные числа и квадратные уравнения

Глава 3. Где применяются комплексные числа

Список использованных источников

История развития числа уходит своими корнями в далекое прошлое. И на заре цивилизации числа возникли из практических потребностей людей в счете. По мере развития общества развивалось и продолжает развиваться и понятие о числе. В 13 веке математики научились извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в 16 веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой. Поэтому итальянский математик Дж. Кардано в 1545 году в своем труде предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными». Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. В наше время комплексные числа и их свойства изучаются в технических вузах. Но при изучении этой темы студенты часто не понимают, зачем им нужно знать об этих числах и где знания о комплексных числах могут пригодиться. Попробуем разобраться в этих вопросах.

Тема исследования достаточно актуальна. Комплексные числа используются во многих областях науки. В наше время довольно много учебной литературы о комплексных числах. Однако не во всех изданиях материал изложен понятно и доступно.

Гипотеза: комплексные числа используются при решении разных задач

Цель: изучить свойства комплексных чисел и оценить роль комплексных чисел при решении разных задач

1. Проанализировать источники информации о комплексных числах.

2. Описать свойства комплексных чисел.

3. Определить, где используются комплексные числа.

4. Научиться проделывать арифметические операции над комплексными числами

1. Анализ источников информации о комплексных числах

2. Решение примеров

Комплексные числа и их свойства

Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Если мнимая часть числа z равно 0, то комплексное число превращается в вещественное: а+0 i = а

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на комплексной плоскости, которая представляет собой систему координат. На оси ОХ – действительные числа, а на оси О Y чисто мнимые числа. Тогда число z на комплексной плоскости – это радиус-вектор, начинающийся в начале координат и заканчивающийся в точке с координатами ( a ; b ). На чертеже представлены геометрические изображения 10 разных комплексных чисел.

Модулем комплексного числа z = a +b i называется длина вектора, соответствующего этому числу; |z| = r = √(а 2 + b 2 )

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Тогда z = √2( cos (π/4) + i sin (π/4))

Показательная форма записи комплексных чисел

Свойства комплексных чисел

· Сумма двух противоположных чисел равна нулю (z + (-z)) = 0

· Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Действия над комплексными числами

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

Пример: найти частное чисел 13+i и 7-6i

= = = = 1+i

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексного числа обычно используется формула Муавра. Если комплексное число представлено в форме z = r ( cos φ + i sin φ), то z n = r n ( cos ( n φ) + i sin ( n φ)).

Пример: возвести число z = 3+√3 i в 20-ю степень

Для начала представим число в тригонометрической форме.

r = √(3 2 +(√3) 2 ) = √12 = 2√3

z = 2√3( cos ( π /6) + i sin ( π /6))

z 20 = (2√3) 20 (cos(20π/6) + i sin(20π/6)) = (2√3) 20 (cos(10π/3) + i sin(10π/3)) = (2√3) 20 (cos(4π/3) + i sin(4π/3))

Для извлечения корня из комплексного числа нужно само число представить в тригонометрической форме. Пусть z = r ( cos φ + i sin φ). Тогда:

= (cos ( φ +2 π k/n) +i sin( φ +2πk/n)), k = 0, 1,…,n-1

Комплексные числа и квадратные уравнения

Решим уравнение х 2 +х+1 = 0

х=

Где применяются комплексные числа

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных 5-угольника и 15-угольника. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N-угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. Числами Ферма называют числа вида F_n = 2 2^ n +1. При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847-1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Комплексные числа нужны для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

Источник

Откуда есть пошло комплексное число

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

Источник

Исследовательская работа «Комплексные числа и их приложения в физике»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 2 г. Вяземский

Вяземского муниципального района Хабаровского края

Районная научно-практическая конференция

«Комплексные числа и их приложения»

Выполнил: Котов Михаил, ученик 11 класса

Палтусова Евгения Николаевна, учитель математики

Палтусов Алексей Дмитриевич, учитель физики

ВВЕДЕНИЕ

Впервые я узнал о комплексных числах при подготовке к Единому Государственному Экзамену по физике, натолкнулся на задачу: «Действующие значения напряжения и тока потребителя электрической энергии в комплексной форме изображаются в виде:

В и А. Запишите выражения для мгновенных значений тока и напряжений при частоте , определите в комплексной форме полное сопротивление.»

При решении этой задачи, требовалось найти комплексные значения напряжения, тока и полное сопротивление.

Я заинтересовался данной темой и решил узнать о комплексных числах побольше, где они находят применение в математике и физике.

Объект исследования: комплексные числа.

Предмет исследования: приложение комплексных чисел в физике.

Моей целью являлось изучение комплексных чисел как раздела математики.

В ходе исследования была выдвинута гипотеза, задачи по электродинамике можно решать, применяя комплексные числа.

1. Теоретическая часть

1.1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ УЧЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х + a = b имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что, a = с и b = a только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры.

Отрицательные числа применял в III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х 2 = – 9. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х 3 + 3х – 4 = 0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х 3 – 7х + 6 = 0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда

х = 5 ± , у = 5 ± ,

нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их.

В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII века Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire («мнимый») для обозначения (мнимой единицы), т.е. i = , этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831 г).

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

1.2 ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей:

Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е.

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Также на множестве комплексных чисел теряются понятия «больше» и «меньше», можно лишь по отдельности сравнивать действительные и мнимые части комплексных чисел.

Произведением и суммой сопряжённых чисел являются действительные числа:

Позже, когда была предложена геометрическая интерпретация комплексных чисел, возникла необходимость введения нового понятия – длины вектора, соответствующего комплексному числу. Его стали называть модулем комплексного числа и обозначать:

по предложению швейцарского математика Жана Аргана.

Самостоятельно изучив пример , я пришёл к выводу, что и сумма корней двух сопряжённых чисел равна действительному числу. Действительно, обозначив конечный результат за x и учитывая, что обе части неотрицательны, я имею право возвести выражение в квадрат:

Раскрыв скобки и выполнив возможные действия в левой части, я получил:

. Т.е.

Так как a и b – действительные числа, то и это выражение будет действительным. Я доказал это на примере:

. Возведя в квадрат, я получил:

.

Т.е. = .

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел

называется комплексное число

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел

называется комплексное число

которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел, получим два уравнения, из которых найдем, что

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Произведение комплексных чисел

называется комплексное число

z₁z₂ = (a + bi) ∙ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i.

Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i 2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:

.

Степень числа i является периодической функцией с периодом 4. Мы доказали это утверждение:

i 4 = i 3 ∙ i = (– i) i = – i 2 = – (– 1) = 1;

i 5 = i 4 ∙ i = 1 ∙ i = i; i 6 = i 5 ∙ i = i ∙ i = – 1.

2. Практическая часть

2.1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если a = 0;

2) имеет два действительных корня z_1,2 = ± , если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a ;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Вообще уравнение z 2 = a , где a z _1,2 =± i .

Итак, определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

z _{1, 2} = .

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики – формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x 3 + px + q = 0 :

По-видимому, эту же формулу ранее получили Сцепион дель Ферро и Николо Фонтане (Тарталья), но первым опубликовал эту формулу именно Кардано.

2.2. ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Наглядно представить мнимые числа пытались ещё в XVIII веке.

В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной. В 1806 г. швейцарец Жан Агран высказал похожую идею. Но широкое распространение эта интерпретация получила лишь через три десятка лет, когда Карл Фридрих Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое изображение комплексных чисел, как Вессель и Агран. Больше всего меня поразило то, что практически одновременно, независимо друг от друга трое учёных предложили одну и ту же идею. Это говорит о том, что идея буквально витала в воздухе. Вообще, именно это открытие способствовало дальнейшему развитию учения о комплексных числах: стала возможна тригонометрическая запись числа, и, как следствие, намного удобнее стали возведение в степень и извлечение корня.

Точками на числовой оси можно представлять, как действительные, так и мнимые числа (но только не на одной и той же оси). Значит, чтобы одновременно изобразить действительные и мнимые числа нужно взять сразу две оси. Назовём их действительной осью и мнимой осью и расположим перпендикулярно. Для определённости выберем положительное направление действительной оси вправо, а мнимой – вверх.

Теперь можно наглядно представить операции сложения и вычитания комплексных чисел с помощью векторов.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить.

При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

2.3. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Я возвёл комплексное число z = r ∙ ( cos φ + i sin φ ) в степень n :

z n = r n (cos nφ + i sin nφ).

Это выражение назвали формулой Муавра – в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701 г.

При n = 1, я получил z n = r n (cosφ + i sinφ) n = r n (cos nφ + i sin nφ).

или, если разделить на r n ≠ 0:

(cosφ + i sinφ) n = (cos nφ + i sin nφ).

Отсюда следуют равенства

Извлечение корня из комплексного числа.

Я записывал числа в тригонометрической форме.

Число w я искал в виде

Равенство w n = z принимает вид:

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым, кратным 2π. Значит,

nφ = φ + 2π k , k Z .

Для этого разность

Таким образом, я доказал утверждение:

z = r (cos φ + i sin φ),

то эти значения выражаются формулой

,

2.4. Применение «Комплексных чисел в физике»

Когда речь пойдет об электротехнике, длина вектора внезапно превратится в амплитуду сигнала, а угол наклона – в фазу сигнала. Кстати, обратите внимание, что тригонометрическая форма записи комплексного числа чем-то близка к тригонометрическому кругу. Запишем закон изменения косинусоидального напряжения.

Вектор, равный по длине амплитуде нашего напряжения, вращается в системе координат, на оси Х (которая Re) вырисовывается закон косинуса (он полностью совпадает нашим сигналом v(t)). А на оси Y (которая Im) вырисовывается закон синуса. Итого на основе вышесказанного наш исходный сигнал

мы можем представить в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Давайте представим теперь, что у нас не косинусоидальный сигнал, а синусоидальный. К нему мы как-то больше привыкли. То есть, пусть напряжение изменяется вот по такому закону

Выходит, что комплексное представление для случая синусоидального и косинусоидального сигнала имеет один и тот же вид. Кстати, это довольно очевидно, если вспомнить, что при вращении вектора по окружности и синус и косинус вырисовываются одновременно на разных осях. А само комплексное число описывает именно этот вращающийся вектор и, таким образом, содержит в себе информацию как про ось Х, так и про ось Y.

Давайте теперь пойдем от обратного и представим, что у нас есть запись некоторого комплексного сигнала в виде

Или, например, в таком виде

Здесь уместно задать вопрос «как понять – что он описывает: синус или косинус?» Ответ очевиден, – да никак. Он описывает и то, и то одновременно. И если мы имеем косинусоидальный сигнал, то мы должны взять действительную часть этого комплексного сигнала, а если синусоидальный – мнимую. То есть для случая косинуса это выглядит как-то так:

А для случая синуса это выглядит вот так

Но, вернёмся к задаче, с которой началось моё исследование.

«Действующие значения напряжения и тока потребителя электрической энергии в комплексной форме изображаются в виде:

В и А. Запишите выражения для мгновенных значений тока и напряжений при частоте , определите в комплексной форме полное сопротивление.»

Для нахождения мгновенных значений напряжений и токов необходимо записать их в показательной форме:

,

А.

Амплитудные значения напряжения и тока: , .

Так как начальные фазы и , то окончательно получаем:

Комплекс полного сопротивления равен отношению напряжения и тока ( по закону Ома)

Ом

Ответ: Ом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В общем, я считаю, что цель и задача моего исследования выполнены. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые доказательства теорем по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

В представленной исследовательской работе получены следующие результаты.

1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.

2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

3) Решены задачи, посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости;

4) Рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

5) Приведены решения некоторых физических задач с комплексными числами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика. Энциклопедия для детей под редакцией М. Д. Аксёновой. – Москва-2000.

2. Алгебра и математический анализ для 11 класса под редакцией Н. Я. Виленкина. – Москва-1996.

3. История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

4. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник