применение аксиом стереометрии на практике

Конспек к уроку по стереометрии «Приминение аксиом стереометрии» (10 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема : Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом

о физическом пространстве,

а только служит для изучения

• Изучить аксиомы, следствия из аксиом, теоремы, следствия о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве;

• Выработать навыки решения задач по данной теме;

• Формирование представлений о целостности и непрерывности курса геометрии;

• Развитие пространственного представления геометрических тел.

Оборудование урока: учебник, презентации по теме, мультфильм, таблица.

2. Математический диктант (с последующей проверкой);

II . Постановка целей и задач урока. Сообщаются цели и задачи изучения темы, показывается практическая значимость изучаемого материала.

1. Устный опрос (презентация)

Учащиеся отвечают на вопросы:

— Что изучает стереометрия?

— Назовите основные фигуры в пространстве.

— Что называется аксиомой?

— Сколько аксиом мы изучили на прошлом уроке.

2. Математический диктант (с последующей проверкой).

(используется раздаточный материал)

1). Сформулируйте аксиомы стереометрии:

Аксиома 1. ________________________________________________________

Аксиома 2. _________________________________________________________

Аксиома 3. ________________________________________________________

2). Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

а). Для любой прямой существуют точки, принадлежащие ей, и _____________ _______________________________________________________

б). Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом ____________________________________________________________________

в). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом_________ _____________________________________________________

Задача 2. Укажите ошибки на рисунках.

IV . Изучение нового материала.( Применение аксиом стереометрии.)

Объяснение нового материала сопровождается презентацией.

Учитель: Покажем применение аксиом стереометрии в реальной жизни.

Геометрия широко применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем. Геометрия стала широко проникать во все сферы науки и техники.

Хотелось бы показать практическое применение теоремы стереометрии, которая формулируются следующим образом: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Три опоры, три точки – треугольник. Три опоры – минимальное необходимое количество для устойчивости. В этом экономия, в этом красота и мудрость. Это в действительности самая распространенная и самая простая форма, прежде всего для посуды и мебели.

Мы часто сталкиваемся с действием упомянутой аксиомы:

— для устойчивого положения предмета желательно иметь, минимум, три опоры( пример трехколесного детского велосипеда);

— трехногость какой-то чисто технической конструкции обусловлена ее функциональными особенностями(так, ножки самовару приданы для того, чтобы горячий корпус самовара не сжег ту поверхность, на которой он стоит );

— треножники получили даже собственное название( станок, на котором художники помещают картину, называется мольбертом, а устройство для установки кино и фотоаппарата, геодезических, астрономических и прочих приборов – штативом).

— человек давно изобрел разного рода складные, легкие и удобные для транспортировки трехногие приспособления (радар, военно-полевая кухня, пушка, шасси самолета). Эта форма удобная, практичная и экономичная.

Человек различает окружающие предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимости, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат три точки опоры, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

V . Закрепление изученного материала (решение нестандартных задач):

-«вход в пространство» :

-Из шести спичек сложите 4 правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка.

-Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырёх остальных.

-у линейки 4 угла. Если 1 угол срезать, сколько углов останется?

-какой стол устойчив: на трёх ножках или на четырёх ножках?

-Одним разрезом ножниц разрезать полоску бумаги на 3 части

VI. Подведение итогов

Учитель: что больше всего вас заинтересовала на уроке, что удивило? что вы узнали нового?

Учащиеся: Мы познакомились с новым разделом геометрии- стереометрией, узнали новые аксиомы и использовали их при решении задач и узнали практическую значимость аксиом стереометрии: для устойчивости положения предмета желательно иметь минимально три опоры. Это следует из теоремы стереометрии: устойчивое положение на земле достигается при опоре на три точки при условии, что они не лежат на одной прямой.

Объявление оценок (с комментариями).

VII . Домашнее задание : Решение кроссворда.

1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.

Источник

Лекция по математике на тему «Аксиомы стереометрии»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.

Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома А1 состоит из двух частей.

Первая часть утверждает, что через три точки проходит плоскость, т.е. существует хотя бы одна плоскость.

А вторая часть аксиомы говорит, что такая плоскость только одна.

Символ читается как существует.

По этой аксиоме, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.

Поэтому плоскости иногда обозначают тремя большими буквами, используя любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

У нас на экране плоскость обозначена как α. Эту же плоскость можно обозначить как ABC

Аксиома 1 (существование плоскости)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

, причем α – единственная.

Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Эта аксиома устанавливает взаимосвязь между прямой и плоскостью, то есть тот факт, что плоскость действительно плоская и прямая ее не «протыкает», а целиком содержится в ней.

Из аксиомы A 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку..

Эта аксиома очень важная. Она утверждает, что две плоскости не могут пересекаться по одной единственной точке.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Справедливость фактов планиметрии

Мы с вами познакомились с тремя аксиомами стереометрии.

Возникает вопрос: «Можем ли мы пользоваться теми фактами, которые справедливы на плоскости: теорема Пифагора, формулы площади треугольников, параллелограмма? Или все эти формулы, теоремы для нас уже не имеют значения?»

В планиметрии мы имели дело с одной плоскостью, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много плоскостей.

И в каждой из плоскостей, справедливы все факты планиметрии. В любой из плоскостей выполняется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, верны формулы длины окружности, верны формулы для площади.

Все что мы изучали, мы теперь можем применять смело в каждой из рассматриваемых плоскостей.

Аксиомы стереометрии не противоречат аксиомам планиметрии.

В стереометрии принимаются все факты планиметрии для каждой плоскости.

Переходим к решению задач

Задача 1. По рисунку назовите:

По рисунку назовите:

Аналогично:

Аналогично: .

Аналогично:

Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?

Две точки A и С прямой m принадлежат в плоскости , значит и точка B этой прямой принадлежит этой плоскости.

Получается, что в одной плоскости лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Значит предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.

лежать на одной прямой.

Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?

Пусть:

(аксиома А1)

(аксиома А2)

. Получили противоречие, по условию задачи точки не лежат в одной плоскости.

Предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.

Задача 3. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Найти :Количество плоскостей

Так как две точки A и C прямой m принадлежат плоскости α, то и точка B прямой m принадлежит этой плоскости.

Все три точки принадлежат плоскости.

Значит плоскость α – искомая плоскость.

Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, может проходить

бесконечное множество плоскостей.

Доказать:

Найти: Количество плоскостей

Пусть .

(аксиома A 1).

(аксиома A 2).

Плоскость α – искомая плоскость.

Т. к D – произвольная точка, то таких плоскостей бесконечное множество.

Ответ: бесконечное множество.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-025570

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Систему ЕГЭ сделают независимой от Microsoft

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Студентам вузов могут разрешить проходить практику у ИП

Время чтения: 1 минута

СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся

Время чтения: 1 минута

В российских школах оборудуют кабинеты для сообщества «Большой перемены»

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Презентация,конспект по стереометрии на тему «Практическая геометрия» (10 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ СТЕРЕОМЕТРИЯ.doc

Тема : Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом

о физическом пространстве,

а только служит для изучения

• Изучить аксиомы, следствия из аксиом, теоремы, следствия о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве;

• Выработать навыки решения задач по данной теме;

• Формирование представлений о целостности и непрерывности курса геометрии;

• Развитие пространственного представления геометрических тел.

Оборудование урока: учебник, презентации по теме, мультфильм, таблица.

2. Математический диктант (с последующей проверкой);

II . Постановка целей и задач урока. Сообщаются цели и задачи изучения темы, показывается практическая значимость изучаемого материала.

1. Устный опрос (презентация)

Учащиеся отвечают на вопросы:

— Что изучает стереометрия?

— Назовите основные фигуры в пространстве.

— Что называется аксиомой?

— Сколько аксиом мы изучили на прошлом уроке.

2. Математический диктант (с последующей проверкой).

(используется раздаточный материал)

1). Сформулируйте аксиомы стереометрии:

Аксиома 1. ________________________________________________________

Аксиома 2. _________________________________________________________

Аксиома 3. ________________________________________________________

2). Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

а). Для любой прямой существуют точки, принадлежащие ей, и _____________ _______________________________________________________

б). Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом ____________________________________________________________________

в). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом_________ _____________________________________________________

Задача 2. Укажите ошибки на рисунках.

IV . Изучение нового материала.( Применение аксиом стереометрии.)

Объяснение нового материала сопровождается презентацией.

Учитель: Покажем применение аксиом стереометрии в реальной жизни.

Геометрия широко применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем. Геометрия стала широко проникать во все сферы науки и техники.

Хотелось бы показать практическое применение теоремы стереометрии, которая формулируются следующим образом: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Три опоры, три точки – треугольник. Три опоры – минимальное необходимое количество для устойчивости. В этом экономия, в этом красота и мудрость. Это в действительности самая распространенная и самая простая форма, прежде всего для посуды и мебели.

Мы часто сталкиваемся с действием упомянутой аксиомы:

— для устойчивого положения предмета желательно иметь, минимум, три опоры( пример трехколесного детского велосипеда);

— трехногость какой-то чисто технической конструкции обусловлена ее функциональными особенностями(так, ножки самовару приданы для того, чтобы горячий корпус самовара не сжег ту поверхность, на которой он стоит );

— треножники получили даже собственное название( станок, на котором художники помещают картину, называется мольбертом, а устройство для установки кино и фотоаппарата, геодезических, астрономических и прочих приборов – штативом).

— человек давно изобрел разного рода складные, легкие и удобные для транспортировки трехногие приспособления (радар, военно-полевая кухня, пушка, шасси самолета). Эта форма удобная, практичная и экономичная.

Человек различает окружающие предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимости, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат три точки опоры, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

V . Закрепление изученного материала (решение нестандартных задач):

-«вход в пространство» :

-Из шести спичек сложите 4 правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка.

-Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырёх остальных.

-у линейки 4 угла. Если 1 угол срезать, сколько углов останется?

-какой стол устойчив: на трёх ножках или на четырёх ножках?

-Одним разрезом ножниц разрезать полоску бумаги на 3 части

VI. Подведение итогов

Учитель: что больше всего вас заинтересовала на уроке, что удивило? что вы узнали нового?

Учащиеся: Мы познакомились с новым разделом геометрии- стереометрией, узнали новые аксиомы и использовали их при решении задач и узнали практическую значимость аксиом стереометрии: для устойчивости положения предмета желательно иметь минимально три опоры. Это следует из теоремы стереометрии: устойчивое положение на земле достигается при опоре на три точки при условии, что они не лежат на одной прямой.

Объявление оценок (с комментариями).

VII . Домашнее задание : Решение кроссворда.

1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.

Источник