показательные уравнения примеры с ответами для тренировки

Показательные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)

Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Как элементарными, так и такими, которые обычно дают в ЕГЭ «на засыпку». Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.

Впрочем, после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.

Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом, как я думаю, когда я их решаю, и научиться решать их сам! И потому что мы разберем в этой статье целых 32 примера!

Показательные уравнения — коротко о главном

Показательное уравнение:

1\) называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней:

Подходы к решению:

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \( 3x+5=2 -1\) является число \( x=-6\).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \( 5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \( x\) раз умножаю само на себя число \( 2\) и получаю в результате \( 16\).

Спрашивается, сколько раз я умножил \( 2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\( \begin & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end \)

Тогда ты можешь сделать вывод, что \( 2\) само на себя я умножал \( \displaystyle 4\) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: \( \displaystyle <<2>^<4>>=16\).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \( \displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \( \displaystyle 2\) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

где \( \displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \( \displaystyle 2\) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \( \displaystyle 1024=<<2>^<10>>\), тогда моя задачка запишется в виде:

\( \displaystyle <<2>^>=<<2>^<10>>\), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень \( x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

Ведь \( 100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \( 1000\).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

откуда, как ты уже понял, \( 3x=2,

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

1\) называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае: \( \displaystyle <<1000>^>=100,a=1000,b=100\).

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

\)c последующим решением уравнения \( f(x)=g(x).\)

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \( C=10,

И мы решали с тобой простейшее уравнение \( 3x=2\).

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах.

Тренировка на простых примерах

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.

Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \( 81\).

Но ничего страшного, ведь \( 81=<<3>^<4>>\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?

Правило «степени в степени», которое гласит:

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например, с таким уравнением?

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа \( \displaystyle a\) выполняется:

поэтому уравнение \( <<2>^>=1\)

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \( x\), тем меньше значение \( <<2>^>\), но тем не менее, все эти значения больше нуля.

И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА.

Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \( <^<(x)>>>0\) (для любых \( a>0\ \) и \( x\)).

Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \( <<2>^>=-0.000001\)?

А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \( <^>=b,

Теперь давай потренируемся и еще порешаем простые примерчики:

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)

Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \( \frac<<<3>^<2x+1>><<3>^<2(x+2)>>><<<3>^<3x>>>=<<3>^<5>>.\)

Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:

При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.

Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \( <<4>^<(3x+1)>>\) и \( <<625>^<(x/2)>>\) в виде степени одного и того же числа.

В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

Левая часть уравнения примет вид: \( 4\cdot <<64>^><<25>^>\)

Что же нам это дало? А вот что:

Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

Применительно к моей ситуации это даст:

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).

Перенесу слагаемое с минусом вправо:

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

Ты без труда найдешь его корень:

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?

Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:

Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

Источник

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник