Как учить математику гуманитарию
Мир и еще n миров, или математика для гуманитария
Предисловие
В этой статье вы ознакомитесь с тем, как же всё-таки применяется математика в реальной жизни. Попрошу сразу вас забыть всё то, чему вас учили в школе: математика это не сухие формулы и бесконечные арифметические действия. В первую очередь, математика — это мы и то, что вокруг нас. Прежде чем мы начнём, в своём суждении я допущу следующее: я буду применять математические понятия, которые сразу же буду объяснять простым языком; ведь статья эта, по большей части, была начата лишь с целью примирения гуманитария с реальными миром.
Я не продвинутый математик, я не сын преподавателя мат. анализа, однако я тот человек, который относительно недавно понял, в чём суть науки, которую я представлю здесь. Поскольку большое количество источников написаны людьми, которые предполагают, что читатель заранее знаком с используемой терминологией, я сам сталкивался с громадными сложностями. И поскольку в моём опыте еще свежа та часть моей жизни, где я задавался начальными вопросами и не понимал, куда наступить, я прямо здесь отвечу на вопросы любого начинающего технаря, а сопровождать вас будут мои корявые картинки. И так, наш мир — это …
Представление о человеке
Человек приучен познавать. Если бы не эта особенность, я бы не писал эту статью, а вы бы её не читали. И не факт, что мы бы в принципе могли читать. А что такое человек? Для более детального понимания статьи составим модель человека.
Обозначим некоторое живое существо с определенными внешними чертами и поведением. Назовём его «человек». Поскольку человек — это существо, ему необходимо питаться едой. Пусть наш человек умеет познавать и анализировать для того, чтобы находить оптимальные варианты для выживания. Человеку будет свойственно систематизировать свои знания с целью дальнейшего усвоения различных гипотез и теорий. Человеку свойственно каждую гипотезу и теорию доказывать путём анализа и предыдущего опыта. И так, у нас есть модель человека, модель самих себя. Эта модель без учёта различных погрешностей, так называемая «идеальная» модель, отражает суть человека — учиться для того, чтобы выживать. В реальной же жизни каждый человек очень индивидуален, мы не можем найти два идентичных человека, поэтому мы будем применять именно такие модели, которые пошли из математики — они позволяют упростить наше понимание мира.
Но где живёт наш «модельный» человек?
Немного алгебры
Я введу примитивные понятия вектора, векторного пространства и единичного вектора.
Вектор — это отрезок, имеющий направление. Это понятие поможет нам определить то, как мы видим наш мир.
Векторное пространство — это пространство множества векторов.
Единичный вектор — это вектор длины «единица», начало которого является точкой отсчёта в векторном пространстве.
В нашем случае для простоты я буду производить рассуждения, исходя из двумерного пространства, которое образуется двумя векторами, начала которых исходят из одной точки, называемой точкой отсчёта (рис. 1).
(Рис. 1, Вектор 3 составлен следующим образом: задаём длину вектору 1, проводим из конца вектора 1 прямую, параллельную вектору 2, затем задаём длину вектора 2 и проводим из его конца прямую, параллельную вектору 1; из пересечения проведенных прямых выводим вектор 3 из точки отсчёта. Таким методом можно составить бесчисленное количество векторов, которые будут лежать в одной плоскости.)
Меняя длину векторов 1 и 2, мы выводим бесчисленное множество новых векторов (3, 4, 5, …, n), которые строятся на основе наших двух.
И так, попытаемся понять, как нам поможет математика в решении реальной задачи — понять, как устроен мир. Мы усердно изучали алгебру и геометрию в школе, но с какой целью? Нас пихали бесконечной практикой, которая в действительности-то нам и не нужна. Нам говорили считать непонятные нам уравнения по заданным алгоритмам — это ли математика? Нет. И те, кто её таким образом преподают и понятия, видимо, не имеют, что такое реальная математика, ведь она гораздо проще, чем тонны непонятных уравнений. Моя теория гласит: не важно, чему учить человека — важно лишь заинтересовать его, и он научится сам. И эта теория успешно работает. И сейчас я попытаюсь вам показать, как применяется математика в реальном мире.
Первое предложение, с которого начинается математика: «А что, если…?». А что, если наш мир можно представить такой же моделью, как и человека? Давайте расставим объекты. Из школьного курса физики мы все успешно зазубрили, что живём в матрице все тела состоят из молекул, а те из еще более мелких объектов. Проведя аналогию с компьютерами (так, опять же, проще), представим, что каждая мельчайшая частица — это пиксель. Он имеет набор личных характеристик: цвет, местоположение. Вернемся к нашему двумерному пространству векторов. Если мы введём такое правило: начало каждого нового вектора должно лежать в точке отсчёта; то каждый вектор мы сможем охарактеризовать двумя числами — это его координата по осям, на которых лежат базисные вектора (базисные векторы — те векторы, которые образовали нам пространство выше).
Пусть базисный вектор — это единичный вектор, а все остальные векторы — это комбинации базисных векторов (рис. 2).
(Рис. 2. Зеленый вектор состоит из двух векторов i и из двух векторов j. Векторы i и j — это единичные векторы нашей системы, обозначены для удобства.)
Исходя из предыдущего представим наше пространство вокруг таким образом: каждая мельчайшая частица — это конец вектора. Длина вектора — это расстояние от точки отсчёта до частицы. Представьте наше зрение. Сейчас вы читаете этот текст, и пусть каждая буква — это та самая частица. Расстояние от ваших глаз до этой буквы — это длина вектора. А сам этот вектор — это направление вашего взгляда на букву. И таким образом характеризуется абсолютно всё в нашем мире.
Мы живём в матрице
Человек не может понять, что такое матрица, пока сам её не увидит.
(Рис. 3. В круглых скобках — это матрица. Она образуется так: в левом столбце пишутся координаты базисного вектора i, в правом столбце — координаты базисного вектора j. Мы обозначили их единичными для простоты, соответственно i имеет координату по оси X 1, по оси Y 0, а j — наоборот.)
Матрица характеризует пространство, с которым мы работаем. В данном случае мы видим примитивное пространство, где все описано благодаря понятным нам со школы двум прямым. Если мы будем проделывать манипуляции с матрицей, то мы изменим и объекты (векторы), которые составляют данное пространство. Эту затею пока отложим.
Теперь представим, у нас есть наше векторное пространство, где каждый объект представляется набором пикселей, то есть набором конечных точек векторов. Мы можем нарисовать таким образом абсолютно любой двумерный объект. Представим, что это двумерное пространство — это наш мир (для простоты я не ввожу третье измерение). Наша матрица… она всюду. Именно она описывает то, как мы видим этот мир и как мы взаимодействуем с объектами. Я нарисую красную линию, которая на самом деле является множеством конечных точек векторов (рис. 4, линия 1).
(Рис. 4. Синие векторы составляют красную линию)
Далее я имею право взять её и передвинуть вправо, на место линии 2. Это будет уже другая линия, потому что синие векторы, составляющие её имеют другие координаты. Но эти векторы остаются по-прежнему зависимы между собой, то есть имеют какие-то соотношение друг к другу. Дальше я имею право изогнуть эту линию, получив линию 3, нарушив изначальные отношения между векторами. Они по-прежнему будут зависимы между собой, но уже в «другом формате». Можно и разрушить связь между векторами, разделив эту линию пополам. Тогда две её части уже будут независимы.
Теперь представьте вместо этой линии лист будмаги в нашем пространстве. Я могу проделывать с ним все те же самые действия. Я могу переместить его с края стола на другой край, затем свернуть, а после и разорвать. Таким образом линейная алгебра характеризует наше пространство. И если у нас получается проводить аналогии между нашей 2D моделью и миром, то мы можем пойти дальше.
Наше 2D пространство на самом деле является плоскостью. То есть, посмотрев на это пространство сбоку, мы увидим только прямую линию. Хорошо. У нас есть наша модель мира, мы примерно можем представить, что модель человека находится внутри материальной точки отсчёта (почему материальная точка? потому что мы пренебрегаем размерами и ставим модель ровно в эту точку для удобства). Каждый раз, когда человек двигается в любую из сторон, он на самом деле приближает к себе координаты векторов и отдаляет их от себя.
Еще немного мат. анализа и всё, обещаю
Есть такое понятие, как «предел». На практике записывается оно так: lim; является сокращением от слова limit. Сейчас объясню, зачем оно такое сложное надо. Предел позволяет охарактеризовать последовательность или функцию. Предположим, что у нас есть последовательность чисел 1, 2, 3, …, n. Так вот, если мы говорим о натуральных числах, то эта n будет бесконечной, потому что какое бы число вы ни придумали, я всегда могу дописать к нему еще одну цифру. Возьмём школьную функцию (1/x). Если мы будем брать переменную «х» из чисел последовательности натуральных чисел, то этот «х» мы можем сделать бесконечно большим. А что произойдёт с этой функцией, если «х» станет бесконечно большой? Она будет бесконечно стремиться к нулю, но никогда его не достигнет. Будет бесконечно мала, и будет продолжать уменьшаться бесконечное количество времени. И все равно не сможет достичь нуля. Для общей осведомлённости, такой феномен запишется следующим образом:
(Рис. 5. Читается так: предел функции (1/х) при х, стремящимся к бесконечности, то есть когда х берётся бесконечно больше и больше)
Что теперь с этим делать? Зачем мне это знать? Это база, которая требуется для того, чтобы начинающий философ имел свой starter pack. Эти инструменты позволяют размышлять о вселенной глубже, вдаваясь в точный расчет, моделируя различные ситуации и прочая куча интересностей.
Развязка. А что если…?
Существует ли параллельный мир? Его существование возможно, хотя бы потому что умные люди это давно доказали математикой. Как они к этому пришли? Древние математики всю свою жизнь провели в размышлениях: а что если взять шар и бросить его вниз? а что если в падении этот шар разрезать? а что если …? А теперь мы сами зададимся этим вопросом: а что если параллельный мир существует? Как его смоделировать? Помните, что мы работаем сейчас с двумерным пространством? Так вот: представьте этот параллельный мир, как второе точно такое же двумерное пространство. Но вот какую вещь мы сюда добавим: пусть эти два пространства будут бесконечно стремиться друг к другу. То есть предел одного пространства будет являться пределом другого и наоборот. А теперь возьмите третье пространство и добавьте его в эту кучу. И четвертое. И пятое. И все они взаимно стремятся друг к другу. Почему такое невозможно? Описать подобные вещи в трехмерном пространстве сложнее, поэтому будет продолжать фантазировать с 2D. Вот как схематично выглядит наша модель сбоку:
(Рис.6. Пр. — сокращение от «пространство». Все 3 пространства стремятся друг к другу)
А что если одно из пространств пересечётся с другим? Как эту будет выглядеть в реальной жизни? Мы получим дыру, которая одновременно в нашем, и в параллельном мире. И вещи, попадающие в эту дыру, будут исчезать. И появляться тоже будут. А что если эти пересечения пространств — черные дыры, которые засасывают все, что в них входит? В рамках этой статьи мы не будем приводить доказательства ложности или истинности этих высказываний. Они лишь служат образцом того, как математика работает в реальной жизни: это не только формулы, но и нереальное воображение, товарищи.
Но опять же, мы привели сильно примитивные модели двумерного пространства, а теория струн говорит, что в нашем мире вообще далеко не трехмерное пространство. Вычисления с добавлением каждого нового измерения станут гораздо сложнее и, по сути, будут непредставимы человеческим мозгом. А учитывая то, что мы с вами, люди, живём в совсем другом мире, в отличие от мельчайших частиц, у которых, вероятно, даже нет понятия времени, мы можем на любительском уровне пофантазировать, как это уложиться в нашу модель. Раннее мы говорили о матрицах. Так вот, эта матрица, как мы сказали, в нашей голове. Мы видим мир таким, как он заложен у нас. И те существа, которые приходят в этот мир, тоже по умолчанию заходят сюда с этой матрицей. Люди, как бы, договариваются между собой, что у них должен быть такой взгляд на мир: то дерево, которое вижу я, видишь и ты.
Просто вспомните, как происходит подключение к серверу в онлайн-сервисах. Каждый пользователь работает, согласно заданному списку протоколов о подключении к серверу. То же самое и в жизни. Мы рождаемся, подключаясь к серверу реального мира, и принимаем в себя набор протоколов, которые позволяют нам взаимодействовать с этим миром так, чтобы не вызвать ошибки подключения у других пользователей. Чтобы то дерево, которое вижу я, видели и вы, товарищи. А вдруг реального мира вообще нет? Вдруг только МЫ, живые существа, видимо его именно таким. А вдруг существуют такие сущности, которые носят в себе другую матрицу с другим набором чисел, и тогда наше пространство для них искажается? Что если эти сущности с другим видом матрицы — это мельчайшие частицы, которые существуют по совсем другим сценариям? Так много вопросов, и так мало ответов…
Постоянная зубрежка: как покорить математику, если ты гуманитарий
Теории и практики
Автор курса «Научитесь учиться» Барбара Окли — бывшая переводчица, а теперь ученый и инженер — в детстве считала себя гуманитарием и математики боялась как чумы. Но, начав изучать математику в 26 лет, смогла стать профессором системной инженерии в Оклендском университете. В материале для Women in Science & Engineering Барбара рассказывает, что помогло ей переквалифицироваться. T&P пересказывают главное.
Барбара Окли начала свою карьеру как военный переводчик, но потом поняла, что не хочет заниматься этим всю жизнь. В армии она работала вместе с инженерами, и эта профессия казалась ей очень перспективной, но чтобы прийти в нее, нужно было освоить математику.
Математика всегда казалась Окли чем-то очень сложным. Но что, если методы, используемые при изучении иностранных языков, могут помочь и в освоении математики?
Не пренебрегать зубрежкой
«Я просто не понимаю, как я мог сделать это задание плохо. Ведь я понял эту тему на уроке», — недоумевал один из студентов Окли.
Преподаватели в США традиционно делают ставку на то, чтобы на занятиях учащиеся обсуждали принципы математики и понимали их, а зубрежка считается унизительной и бесполезной тратой времени.
Окли, напротив, считает, что математика в похожа на спорт. Подобно тому как спортсмены постоянно повторяют одни и те же движения, чтобы организм их запомнил, тем, кто учит математику, полезно натаскивать себя, решая однотипные задачи. Более того,
постоянно совершая математические операции в уме, вы обнаружите, что гораздо лучше понимаете, чтó за ними стоит,
Так же обстоят дела и с иностранными языками: понять логику языка недостаточно, надо заучивать отдельные выражения и практиковаться, чтобы готовые фразы буквально отлетали от зубов. Барбара вспоминает, что, изучая иностранный язык, всегда много времени тратила на отработку беглости, — и это дало свои плоды, когда после длительного перерыва в практике она смогла «извлечь из дальнего ящика памяти» ранее заученные выражения.
Не бояться предмета и практиковать
Что не так с фокусом на понимании? Окли считает, что он может снизить мотивацию: пока она не понимала математику, ей казалось, что выучить этот предмет невозможно, — простое заучивание помогло сделать первый шаг и перестать бояться новой для нее области.
Барбара призывает осваивать при помощи повторения и практики любые новые дисциплины, к которым вы боитесь подступиться: математику, танцы, иностранные языки, музыку.
Сейчас Барбара Окли преподает системную инженерию в Оклендском университете и ведет на Coursera популярный курс «Научитесь учиться: мощные умственные инструменты, которые помогут вам овладеть сложными предметами».
Чем помочь гуманитарию
«У меня не получается. У меня нет способностей к математике. Я гуманитарий», — эти оправдания каждый репетитор слышит неоднократно. Как и слова родителей о нежелании учиться и переходном возрасте. Но все это — поверхность, внешние симптомы. А что в глубине? Из чего вырастает такая безнадежность, с чем все-таки репетитору приходится работать? Ну что же, попробуем разложить по пунктам.
Пункт первый — ученику не хватает элементарных математических навыков. Большинство школьников, приходящих ко мне в одиннадцатом классе, умножают сто на двадцать восемь — в столбик. Им не объяснили, что можно сделать по-другому. А уж деление на сто вызывает почти непреодолимые сложности.
Редкий ученик, увидев квадратное уравнение
30×2 + 30 х — 180 = 0,
догадается поделить обе части на 30. Так и будет, напролом, считать дискриминант и корни, и скажет: дискриминант слишком большой, не вычисляется.
Не страшно, если ученик не может устно умножить 59 на 3. И не страшно даже, что он сделает ошибку при вычислении в столбик. Хуже, если, вычислив в столбик и получив в ответе четное число, он не замечает своей ошибки.
О, столбик! Столбик этот (как догма, как единственный способ вычисления) — отдельная песня, одна из худших в школьной математике. Если ваш ученик отвернулся, скукожился, закрылся от вас локтем и что-то долго делает в уголке листа, мелким почерком, многократно зачеркивая, — будьте уверены, он считает в столбик. При этом у него запредельно серьезное выражение лица.
И ведь все это — и неумение чувствовать числа, и манера поведения — откуда-то из младшей и средней школы тянется.
И поэтому я часто спрашиваю: «А как это сделать проще?» Как обойтись без столбика и посчитать быстрее? Например, возвести 31 в квадрат, пользуясь формулой сокращенного умножения. Должна же быть от этих формул хоть какая-то польза.
Второе, с чем каждый репетитор-математик неминуемо сталкивается — ученик не понимает сути математических действий.
Действий-то этих не так много — сложение, умножение, вычитание, деление. А еще — степени. И функции. Но редкий ученик знает об этом, а потому придумывает свои, шаманские: «убрать икс», «избавиться от корня» (как от нечисти такой, которой в приличном уравнении не место), и, конечно, любимое, самое смачное — «отбросить логарифмы». Да, вот так и отбросить, как копыта.
Я называю это магическим отношением к математике. Для многих школьников математика — это иррациональное нечто, которое умом не понять, а можно только выучить ряд заклинаний и шаблонных действий. Да, ученик пробовал понять. Но не получилось. И потому — он выработал более комфортные для себя стратегии. Он поверил в формулы, как молодой дикарь — в амулеты. Он впадает в панику, если листочек со спасительными «формулами» забыт или конфискован. «Неизвестно, откуда они появились, но без них нельзя». А мы еще удивляемся — откуда у людей с высшим образованием вера в гороскопы и приметы?
А когда число 2,3 выпускник упорно называет «две третьих»? 0,5 — «ноль пятых»? Когда пишет, что х = 121 = 11 и объясняет, что, мол, надо было корень извлечь, дык я и извлек? И мне приходится рассказывать, что знак равенства ставится только между равными величинами, и 11 никак не равно 121, вот представь, будешь ты получать зарплату в 11 тысяч рублей или в 121 тысячу, есть же разница?
А еще я люблю гамбургер. Так я называю многоэтажные дроби. Я прошу ученика (а работаю я с выпускниками) поделить три четверти на одну восьмую, и — вот оно, родное!
3/4 : 1/8 (запись столбиком, прим. редакции)
Третье явление я назову «методикой размножения ошибок». Я подозреваю, что это именно методика. То есть ей в школе обучают специально. Например, учат сокращать дроби — и показывают, что числитель и знаменатель надо зачеркнуть и написать рядом другие цифры, помельче. А потом и другие зачеркнуть и написать третьи, совсем малюсенькие. Цель данной методики — не иначе как экономия бумаги, а корнями, полагаю, уходит она во времена военного коммунизма, земских школ, а то и берестяных грамот. Для меня загадка — кто все-таки учит ребят исправлять, то есть карябать одну цифру поверх другой? Ведь понятно же, что разобрать будет очень трудно. Но нет — бумагу надо экономить.
А еще белая китайская субстанция под названием «штрих». Сделав ошибку, ученик замазывает ее пастой из тюбика, ждет, пока высохнет, а затем пишет сверху — красота!
При этом он уже подзабыл, что там было правильно, а что — нет, да и не разобраться теперь, да и ладно, все равно я гуманитарий, и мне математика не дается!
И поэтому я на первом же занятии ученикам говорю: «У нас с тобой будет такое правило — ничего не исправляем, одно поверх другого не пишем, потому что неразборчиво получается. Лучше зачеркни всю строчку и аккуратно перепиши внизу. Бумаги у нас много». И вроде мелочь — а действует!
Четвертая причина проблем с математикой — непонятные слова и символы. Часто ученик не может «написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 5», потому что не понимает, что такое абсцисса. А спросить — стесняется. И мне самой приходится спрашивать ребят, что такое функция, что значит — решить уравнение, где у дроби числитель, а где знаменатель. Я уж не говорю о вопросе «Что такое производная?» Редкий отличник даст на него ответ.
Непонимание — часто не только на уровне слов, но и на уровне символов. Для нас они понятны. Для школьника — не всегда.
Как, например, объяснить ученику, что 3 + 2 * х не равно 5 * х? Да так и объяснить. На простых примерах. На яблоках и грушах. На коровах и бегемотах.
Так, сколько у нас уже набралось? Уже четыре причины проблем с математикой — и все какие-то тривиальные, прямо обидно!
Пятая причина проблем — забитая интуиция.
Много раз видела, как школьник (с ненулевым уровнем, конечно) решает задачи: он смотрит на условие, через пять секунд выдает верное решение («надо сделать вот такую замену. «) — и немедленно отбрасывают эту идею как ненужную! И пускается «копать» в каком-то левом направлении, запутывается и, пригорюнившись, говорит: «Ну вот, так и знал, что ничего не получится. Я же гуманитарий!»
Я спросила у коллег — почему это так? Ответ был жестоко правдив: Потому что в школе ругают за ошибки. Потому что учитель торопит: «Быстрее, быстрее, все неправильно, делай, как я говорю. » У многих школьников возникает своеобразный «страх ответа у доски». Школа забивает интуицию.
И шестая причина — отсутствие стратегии. Что делать, если получился абсурдный ответ или его вообще не получилось? Например, скорость катера, равная двум тысячам километров в час, или цена товара отрицательная. Или — ответ должен быть целым числом, а получился корень из трех. Многие школьники в этой ситуации зависают. Долго смотрят на бредовый результат. Затем все зачеркивают и бросают решение. А некоторые хитрые — подгоняют под ответ: зачеркивают лишние нолики или вместо корня из трех пишут просто 3. И тогда я говорю им: «Это обычная ситуация, нормальная. На экзамене тоже может так получиться, ничего страшного. Тебе просто нужно вернуться, проверить, правильно ли записано условие, а затем — проверить каждый шаг в решении. И все обязательно получится».
А еще я много раз наблюдала, как старшеклассники:
Ну вот, вроде все самое основное перечислили. Отбросим логарифмы, избавимся от «икса», перенесем, сменим знак, уберем корни, посчитаем в столбик, цифры переправим, ответ подгоним, короче, это самое найдем по формуле. Эх, опять не получилось! Я же гуманитарий! Ну, нету, нету у меня способностей к математике!
И когда ко мне обращаются родители, говоря: «Мой сын гуманитарий. У него совсем нет способностей к математике, но экзамен сдать надо», — я уже знаю, что они сильно преувеличивают масштабы проблемы. Я понимаю, с чем мне придется работать. И знаю, что результат — будет.
Статья предоставлена сайтом «Ваш репетитор»
«Как я полюбила математику всей гуманитарной душой»
Мысли эти мучают меня с тех пор, как я начала преподавать математику. И в один прекрасный момент (он был действительно прекрасен) осознала, что полюбила этот предмет всей своей нематематической душой. Оказалось, что всё определяет среда и правильная методика обучения.
Я с детства испытывавала стойкую ненависть к этой, как мне казалось, надуманной и бессмысленной дисциплине. Нет, я не оспаривала того факта, что математика жизненно важна и людям и без неё не обойтись. Но доступна она лишь какому-то определённому сословию или, даже, возможно, какой-то особенной породе людей, у которых, наверное, мозг состоит из некоего иного вещества, нежели у меня самой.
Закончив школу и сдав с горем пополам экзамен, я была рада-радёшенька, что мне больше никогда не придётся мучиться этой «бессмыслицей». Как же я ошибалась тогда. Но ещё больше я ошибалась, когда думала, что буду ненавидеть Царицу наук всю жизнь.
Всё шло по известному сценарию. Родители — музыканты, математиков в роду нет. Какая там математика? Мозг не математический и прочая-прочая чушь, распространённая в школьной среде. Подобных предрассудков мы нахлебались в детстве выше ушей, переучивая левшей, «исцеляя» заикающихся испугом и старательно сортируя детские мозги на «математические» и «гуманитарные».
Склонность к наблюдениям с последующими выводами заставили меня глубоко усомниться в генетической одарённости. Да, верно, что в семье музыкантов, скорее всего, вырастет продолжатель музыкальной династии, в семье художников весьма высока вероятность рождения именно художника, а в семье математиков, вполне возможно, подрастает ребёнок с математическим складом ума.
И легче всего в данном вопросе всё свалить на гены. Они ж такие крошечные. Может, и правда. Но жизнь заставила меня многократно убеждаться в другом. Определяющую роль в направленности личности играет среда, информационное поле, окружающее ребёнка с рождения. Что будет видеть, чем будет окружен новорожденный малыш в семье художника? О чём будут говорить взрослые, находясь рядом с ним? А в семье музыкантов, где музыка, голос матери или отца звучат чаще, чем простая речь? Что встретит, добравшись до книжных полок или рабочего стола, сын математика? Книги, цифры, формулы. Молчаливые, но источающие необыкновенное и поистине магическое информационное поле. Я не отрицаю вовсе, что что-то там в генной информации и отличается. Пусть с этим генетики разбираются. Я говорю о том, что наблюдаю в жизни.
Итак, мысль первая: не бывает «физиков» и «лириков». Нет мозгов «математических» и «гуманитарных», а есть среда, определяющая всё. Но почему же тогда такому большому количеству учащихся в школе (чуть ли не большей половине) математика так категорически сложна, непонятна и недоступна?
Мысль вторая: в школе математику не преподают. Или по-другому: то, что там выдают за математику, это не математика. Точно так же далеки в большинстве школ уроки английского от самого языка, а уроки пения от музыки.
За все годы школьной учёбы мне так и не удалось встретить в школе учителя математики, поистине увлечённого своим предметом и искренне любившего её. Потому и сама я не смогла ни понять, ни принять, ни полюбить математику. В школе некому было показать мне истинной красоты этой науки.
Десять лет отсидеть за школьной партой и так и не увидеть математики!
Вместо неё добросовестно выполнявшие свою роль учителя подсовывали мне какую-то разменную монету, состоящую из сухих цифр, графиков и формул, сути которых они, скорее всего, и сами не понимали. Весь смысл обучения сводился к тому, чтобы заданными инструкциями во что бы то ни стало прийти к правильному решению и сдать очередную контрольную. Какое отношение к жизни имели все эти графики функций и катера, вышедшие навстречу друг другу с одинаковой скоростью, мне, рождённой в семье музыкантов, было никак не понять.
О том, что математика — это искусство, такое же красивое, разнообразное и многоплановое, как музыка, скульптура или архитектура, о том и сами учителя не догадывались. В школьной среде математика — это обычный предмет, который надо сдать. Сдал значит мозг у тебя «математический», иди в технический ВУЗ. Не сдал — тогда ты «гуманитарий», и иди в музыканты или изучай филологию.
Если до недавнего времени я чувствовала это где-то на уровне интуиции, то после прочтения статьи П. Локхарда «Плач математика» я просто руками всплеснула. Вот оно — объяснение проблемы. Вот ответ на вопрос.
Не мозг у меня по-другому устроен, а преподавание идёт не теми способами
А теперь, мысль третья. Математику лучше преподают… непрофессионалы.
Помните поговорки: «Хочешь познать предмет в совершенстве — начинай его преподавать» и «Когда учишь других — учишься сам»? Следовательно, только то знание считается усвоенным, которое было пропущено через себя, тщательно осмыслено и озвучено.
В прогрессивных образовательных кругах сегодня всё ярче звучит мысль о продуктивности образования, когда образовательный процесс выстраивается таким образом, что учащийся самостоятельно систематизирует информацию удобным для него способом и затем (это непременно) пробует передать эту информацию другому. При этом, вполне естественно, что преподающий в этом случае физически не способен обладать объёмом знаний выпускника математического факультета. Достаточно того, что на данный момент он хорошо ориентируется в той области системы, которую осознал. А если на месте обучающего взрослый человек: мама, папа, бабушка, плохо ориентирующиеся в математике?
Давайте проанализируем, как происходит весь процесс обучения в этом случае. Итак, история одной мамы, которая в детстве плохо знала математику, но став родителем осмелела настолько, что отвергая помощь школы и репетиторов, взяла на себя ответственность самостоятельно обучать своего ребёнка математике. Сразу скажу, что на момент поступления старшего сына в первый класс я уже чувствовала, что преподавание (не только математики, но и вообще в целом) в начальной школе перевёрнуто с ног на голову. Методики Н. Зайцева надёжно защитили моё материнство и период начальной школы в обучении моего сына и на протяжение многих лет воспитывали особый способ педагогического мышления в моей голове. Иными словами, в преподавании математики «по Зайцеву» главное — вдумчиво читать методички и не отклоняться от курса. Тем самым не только качественно изучим материал по математике за начальную школу, но и заложим прочный фундамент для последующей работы в старших классах.
Чем именно (из моего собственного опыта) отличается математика «по Зайцеву» от школьной? Об этом, буквально несколькими строчками позже. А тем временем, сын переходит в шестой класс. Разработанные Н. Зайцевым материалы исчерпывают свой запас. Наступает время растерянности. В очередной раз нос к носу встречаюсь с фактом, что математики я не знаю. Не знаю ни чему учить, ни КАК учить. Пойти в школу? Сдаться? Нанять репетитора? Но внутренний голос убеждает в бессмысленности: «Там нет математики. Ходить туда бесполезно».
Но где же взять-то её? Все та же статья П. Локхарда натолкнула на мысль, что математику нужно брать из самой жизни. То, что нас окружает, как организовано пространство вокруг нас, по каким законам оно существует — это и есть математика, а не скучные цифры на страницах учебников.
А теперь обещанное: чем отличается математика «по Зайцеву» от соответствующей дисциплины в школе и от загадочного «формирования математических представлений» в детсадовских программах. В методиках Зайцева математика — это особая организация пространства, общение с которым встроено в обычную детскую жизнь.
Математика для ребёнка — это и есть жизнь
Причём, встреча с математикой начинается не со школьной парты и не с клуба по подготовке к школе и даже не с подготовительной группы детского сада, а с того момента, когда малыш становится способен созерцать окружающий мир. Уже тогда, пока ещё на уровне чувств и ощущений, он будет познавать чем круг отличается от квадрата и треугольника, длинное от короткого, широкое от узкого, большое от малого. Все понятия — углы, фигуры, площади, периметры, дроби, сектора, длины и величины — овеществлены, осязаемы и понятны. Зайцев сделал математику наглядной и доступной малышам самого раннего возраста и, научаясь искать и находить ее вокруг себя, он будет продолжать искать её всю жизнь.
Вот оно — открытие. Преподавание математики нужно начинать с поиска математики вокруг нас! Необходимо научить ребят любоваться ее красотой и изяществом. Математика, вопреки всем устоявшимся представлениям, начинается не с цифр и счета.
Где живёт математика? Только не в школьных учебниках. Сегодня уже с моими четырехлётними дочерьми я приступила к изучению (нет-нет, к поиску) математики вокруг нас. Клеим аппликацию. Домик: квадрат и треугольник — ну что здесь такого? А разрезать квадрат по диагонали? Получаются два треугольника. Это вам «что такого», а для ребёнка — открытие. Аккуратно срезать уголки у прямоугольника и — фокус-покус — получили овал. А как из квадрата круг получить? После таких «фокусов» легче будет с детьми о вписанных и описанных фигурах разговаривать.
А не приходило ли вам в голову, что игра «Морской бой» — это тема «Координатная плоскость» из учебника за шестой класс? И шахматы, кстати, тоже. Помним основной принцип «от наглядно-действенного к словесно-логическому», а не наоборот. Дадим сначала малышу четкое понятие, где это встречается в жизни и как с помощью этого знания он может воздействовать на окружающий мир.
Никто здесь не опровергает классической математической теории. Но каждый великий учёный вначале опытным путём осознавал своё открытие, а затем только облекал его в красивые слова. Беда в том, что многие наши учителя и академики, увы, миновали этот опытный путь. Им кинули аксиомы и теоремы, как чёрствую корку, которую они продолжают жевать всухомятку, теперь уже, вместе со своими учениками, не ощущая ни вкуса, ни аромата.
На уроках математики необходимо воскресить и выдвинуть на первый план всё то, что по школьным программам считается далеко факультативным.
Н. Зайцев в методических сопровождениях к своим пособиям предлагает массу идей для организации подобных занятий с ребятами: они просто изобилуют математическими фокусами, ребусами, головоломками и задачами, подчас настолько оригинальными и занимательными, что разобраться с ними без помощи взрослого, ученик, скорее всего не сможет.
Цель подобной работы по Зайцеву — пробудить мысль, смекалку, воображение, без которых невозможно решение ни одной жизненно важной задачи, учебной или творческой
Овладение навыками счёта в таком образовательном процессе — это не самоцель, а промежуточное звено, логическое препятствие, которое необходимо преодолеть для решения конкретных задач. Ребёнок изначально видит конечный итог своих стараний: «Я хочу узнать, решить, догадаться».
Получается, что весь процесс обучения математике должен быть построен наоборот: сначала — закономерности и особенности организации окружающего нас пространства, наблюдение за изменениями, движением, временем. И только после этого изучаем то, как эти изменения и законы отражаются в математике. Изучаем числа первой сотни, обсуждая возраст родителей и родственников, таблицу умножения — через площадь прямоугольника, основы геометрии — через наглядно-действенную работу с деталями «Орнамента».
Открываем задачу, не можем решить, заходим в тупик (о ужас) и начинаем анализировать, каких законов и понятий мы не знаем, на какие отношения между объектами мы доселе никогда не обращали внимания! Чтобы познать математику, нужно начать взаимодействовать с математикой. То же самое происходит и в обучении языкам. Для того чтобы узнать великий и могучий, нужно вчитываться в великие тексты, цитировать и переписывать их, по буквочке, по словцу разбирая те незыблемые, исторически сложившиеся принципы, на которых держится язык, а не штудировать штампованные упражнения из полуграмотных школьных учебников, выдвигающих порой весьма сомнительные версии об истинном устройстве языка.
Обучая ребят математике, необходимо следить за тем, какого качества материал мы предлагаем им для изучения и наблюдения.
И всё-таки. Как обучать ребёнка математике в условиях семейного образования, когда сам обучающий не слишком уверен в своих знаниях по предмету? В начальной школе ответ ясен: достаточно успешно и легко ребята обучаются по методу Н. Зайцева. А дальше? Ответ в слове «вместе».
Незнание математики не избавляет от ответственности за знания моего ребёнка
Не видишь — ищи. Не знаешь — учи. И мы вместе ищем, чертим, вычитываем, всматриваемся, ищем аналогии. Не получается? Проси помощи. Но помощь эта заключается не в готовых решениях и ответах в стиле: «Тут надо сделать так». Не осознается понятие, не даётся в руки решение задачи. Мы не ищем репетитора, который за определённую сумму всеведающими интонациями выложит нам сухую инструкцию или формулу. Мы стараемся «прожить» математику, почувствовать правильный ответ. Математику нужно почувствовать.
Давайте вдумаемся: в чём смысл обучения математике? Научить считать? Это предел начальной школы. А дальше? Наблюдая за процессами, происходящими сегодня в средних школах, да и вспоминая своё школьное детство, все чётче осознаёшь, что цель школьного обучения математике — это подготовка к ЕГЭ. Между тем, каждый взрослый, берущий на себя ответственность за обучение детей математике, должен понимать, что суть этого процесса — раскрытие потенциальных возможностей детского интеллекта, развитие всех психических процессов (мышления, памяти, воображения, внимания), формирование умения ставить перед собой учебную задачу и самостоятельно подбирать средства для её решения.
Успешная сдача ЕГЭ очень важна, но не это делает человека счастливым
ЕГЭ — не есть жизнь, это всего лишь отдельный краткосрочный эпизод. Давайте задумаемся, есть ли жизнь после ЕГЭ? Ведь главная наша задача воспитать не успешного учащегося, способного набрать на ЕГЭ заветные баллы, а человека, создающего, мыслящего, увлечённого, способного творчески мыслить, любить и преображать мир вокруг себя.
Всем уже давным-давно известно, что успешная сдача тестов — это, как говорится, дело техники, это процесс не творческий. Чтобы набрать необходимое количество баллов, ученика необходимо просто «натаскать» на типовые задания. Для того существуют специальные методики и литература. Но калечить детям психику, начиная с начальной школы, искажая их представление о математике, лишать их начисто возможности эмоционального или даже чувственного восприятия предмета — это ли верный путь к пониманию математики? Едва ли.