Вероятность и статистика объединены благодаря двум фактам. Первый факт: явление статистической устойчивости. Второй факт: во многих статистических наблюдениях статистическая устойчивость может быть описана с помощью только одной функции, которая была введена великим немецким математиком Карлом Гауссом (\(1777\)–\(1855\)). Эта функция имеет вид:
Рис. \(1\). Гауссова кривая.
Гистограммы распределения большого объёма информации для удобства подвергаются выравниванию и заменяются на функции, имеющие простую аналитическую запись. Они называются выравнивающими функциями.
График выравнивающей функции является гауссовой кривой. Её называют ещё кривой нормального распределения.
Рис. \(2\). Кривая нормального распределения.
Рассмотрим простой прибор (называется доска Гальтона ). От верхнего отверстия равномерно идут вниз разветвляющиеся ходы.Шарики, поступающие в прибор, случайным образом находят свою траекторию и попадают в определённую ячейку. Распределение шариков подтверждает закон Гаусса.
Управление эффективностью: кривая нормального распределения
Сегодня многие консультанты и специалисты в сфере HRM говорят об управлении эффективностью, дают различные советы и делают выводы «космического масштаба» о том, как ее повысить. Но какова суть эффективности, ее природа? Каким правилам и законам она подчиняется?
Чем более глубокими теоретическими знаниями мы обладаем, тем более совершенна наша практическая деятельность. Действительно, управлять эффективностью можно только в том случае, если мы глубоко понимаем природу этого феномена.
Эффективность — это результативность процесса, операции, проекта. Она определяется как отношение полученного результата (достигнутого эффекта) к затратам — расходам на его получение. Для оценки этого параметра деятельности используется специальный математический аппарат (коэффициенты, формулы, методы расчета и т. д.). Использование метрик эффективности позволяет эйчарам разработать определенный алгоритм собственной работы.
Эффективность деятельности компании в целом зависит от эффективности работы каждого ее сотрудника. В крупном коллективе работают разные люди — естественно, они демонстрируют различную результативность. Количество людей с высокой/ средней/ низкой результативностью труда — математики используют термин «распределение» — подчиняется закономерности, которую называют кривой нормального распределения.
Закон нормального распределения сформулировал немецкий математик Фридрих Гаусс еще в начале XIX века. Суть его состоит в том, что заметные отклонения встречаются значительно реже, чем средние величины. Закон Гаусса начинает действовать в группе: чем больше элементов, тем нагляднее проявляется «нормальность» распределения (шире разброс крайних значений и более выражен «горб» средних).
На рисунке 1 изображена кривая нормального распределения — гауссиана. Вся живая и неживая природа подчиняется этому закону. Например, в каждом классе любой школы (и во всех школах мира) подавляющее большинство составляют «середнячки», часть учеников учится немного лучше и немного хуже, и несколько процентов детей — очень способны (еще реже — одарены, талантливы) и столько же — плохо обучаемы и не имеют никакой мотивации к учебе.
Рис. 1. Кривая нормального распределения Гаусса
Но констатации факта, что наиболее эффективных сотрудников (в любом коллективе!) примерно столько же, сколько низкопроизводительных, а большая часть работников — «середнячки», недостаточно для того, чтобы управлять результативностью.
Следствия закона нормального распределения могут показаться парадоксальными: в любом коллективе будут лучшие и худшие. Всегда! Иначе теряет смысл само определение «лучший»… Это не значит, что если уволить лодырей, то «разленятся» другие сотрудники, скорее — повысятся критерии оценки эффективности для этого коллектива. Любая система стремится к равновесию, и смысл управления в том, чтобы устанавливать это равновесие на все более высоком «базовом» уровне…
Если мы посмотрим на результаты оценки сотрудников реальной компании (по критерию эффективности в достижении поставленных целей), то увидим, что они «выстраиваются» в гауссиану (рис. 2): в группу III входят 5% самых результативных сотрудников, в группу I — 5% самых неэффективных, а остальные (группа II) демонстрируют средние показатели.
Рис. 2. Распределение сотрудников компании по показателю «эффективность» описывается кривой нормального распределения
Далее рассмотрим графики на рисунке 3. Отсутствие «передовиков производства» (вариант на рис. 3а), «отстающих» (рис. 3б) или и тех и других одновременно (рис. 3в) — утопия. Если статистика противоречит закону Гаусса, значит, у компании есть серьезные проблемы с организацией труда, а также неудачно выстроена система оценки результативности деятельности. Скорее всего, работа на конкретных рабочих местах плохо описана, неправильно пронормированна и неэффективно стимулируется (то есть нормы выработки, рабочие задания завышены или занижены, а система оплаты не мотивирует к тому, чтобы люди прикладывали больше усилий). Возможно также, что в этих компаниях неудачно выбрана система показателей для оценки результатов (например, оценивается качество продукции, а реально оплачиваются объемы ее изготовления) и/или есть серьезные управленческие ошибки с постановкой целей и определением приоритетности задач.
Рис 3. Графики распределения сотрудников компании по показателю «эффективность»
Особый практический интерес (исходя из собственного опыта) представляет ситуация «все хорошие» (рис. 3в). Когда дело доходит до периодической оценки сотрудников, многие линейные менеджеры подходят к подчиненным «уравнительно», мотивируя свои решения «благими намерениями»: чтобы не осложнять отношения в коллективе, не провоцировать конфликты. Дело не только в том, что они не хотят задуматься над тем, что каждый человек уникален по своему, и работать одинаково «хорошо» все не могут. Это проблема качества управления: справедливая оценка ставит перед сотрудниками реалистичные цели, она сама по себе мотивирует людей, а значит, работает на повышение общей эффективности подразделения и компании в целом.
Впервые с подобным подходом я столкнулся при внедрении периодической системы оценки деятельности сотрудников одного из предприятий тяжелой промышленности: начальник одного из цехов утверждал, что у него все работают хорошо, и он не может кого-либо выделить. О каком развитии, повышении эффективности может идти речь, если руководитель не может отличить плохую работу от хорошей, а хорошую от отличной? Он сам лишает своих подчиненных возможности развиваться (и, как следствие, препятствует повышению эффективности их труда).
Нередко затратив огромные средства на внедрение системы управления эффективностью, компании не получают ожидаемого результата… Вывод один: пока линейные менеджеры не будут правильно применять инструменты и методы управления сотрудниками, которые им предлагают коллеги из службы по управлению персоналом, явного сдвига в повышении эффективности деятельности организации не будет.
Вернемся к закону Гаусса. Что можно сделать для повышения эффективности компании? Как перевести сотрудников из разряда лодырей хотя бы в разряд «середнячков»? Я предлагаю вниманию коллег проверенные на практике рекомендации:
Работать нужно со всем персоналом, повышая результативность каждого. Успеха можно добиться только в масштабах всей компании. Если сосредотачивать внимание на «воспитании» самых неэффективных работников или отдавать предпочтение лишь самым успешным, то в результате можно повысить только их личную эффективность. Затраты ресурсов и усилий в данном направлении приведут к частичным изменениям (рис. 4).
Рис. 4. Работа только с одной категорией сотрудников приведет к частичным изменениям
Отражение этого прогресса мы видим на рисунке 5: кривая распределения показателей эффективности сотрудников сместилась вправо по оси Х. По-прежнему 5% работников показывают лучшие в своей группе результаты, 5% — худшие, а подавляющее большинство, как и раньше, демонстрирует средние показатели. Но теперь:
самые слабые сотрудники работают на уровне «середнячков»;
«средние» уже подтянулись до уровня лидеров предыдущего периода;
лидеры достигли суперэффективности.
Рис. 5. Результат: повышение эффективности всей компании
Так все — каждый сотрудник, подразделение и компания в целом — выходят на новый уровень развития.
«Сдвинуть гору» с места, конечно, очень и очень непросто. Этого можно добиться, систематически проводя грамотную управленческую работу со всем персоналом, а не только с лучшими (кадровым резервом) или худшими. Для каждой группы сотрудников следует разрабатывать программы повышения эффективности. Непременное условие — они должны охватывать весь коллектив, тогда закон Гаусса будет работать на компанию!
Хочу также акцентировать внимание читателей на том, что управление эффективностью компании — это не разовое событие или мероприятие, а процесс, ежедневный кропотливый труд линейных руководителей и эйчаров. Поэтому топ-менеджеры каждой компании, перед тем как стать на стезю управления эффективностью, должны ответить на вопрос: «Готовы ли мы инвестировать в эффективность? Готовы ли линейные менеджеры культивировать в своих подразделениях стремление к эффективности? Готовы ли рядовые сотрудники постоянно участвовать в гонке за повышение эффективности? Готов ли весь коллектив вступить в борьбу за результативность, буквально — с мировой энтропией*?» Если ответ положительный — дерзайте!
Рост эффективности каждого отдельного сотрудника повышает эффективность подразделения, компании в целом. Как только количество высокорезультативных работников достигает критической отметки, наблюдается своего рода «квантовый скачок» повышения эффективности всей компании. Переход на качественно новый уровень происходит в соответствии с законами диалектики, которые сформулировал великий немецкий философ Фридрих Гегель. Задача менеджеров — по возможности приблизить момент «перехода количества в качество».
Этот закон замечателен своей универсальностью: ему подчиняются не только процессы развития галактик и человеческих цивилизаций, но и профессиональный рост отдельного специалиста (например, эйчара). Здесь важно наблюдать за собственной результативностью. Анализируйте ее: ежедневные результаты скажут вам об эффективности больше, чем тысяча книг, лекций, разговоров, за которыми не следует действий. _________ * Энтропия (от греч. поворот, превращение) — 1) в теории информации: величина, характеризующая степень неопределенности системы; 2) в теории систем: величина, обратная уровню организации системы.
Новичкам. Опционы и Гауссово (нормальное) распределение.
Продолжаем грызть тему опционов по книгам Саймона и Натенберга, сегодня добрались до темы волатильность.
Волатильность — это то, что отличает торговлю фьючерсами от опционов. Кто не знает как работает волатильность, по каким законам она живет, не сможет работать с опционами. Там, где волатильность, там есть и теория вероятности, а там, где теория вероятности — сидит определенный математический аппарат.
Именно в этой точке гуманитарий опускает руки, потому что не может разобраться как работать с моделью Блэка-Шоулза, не знает элементарных понятий из теории вероятности, не знает как работает Гауссово распределение.
Будем двигаться понемногу, сегодня разберемся именно с Гауссовым распределением, я покажу на пальцах что это такое и уже потом будем постепенно углубляться в модель Блэка-Шоулза (да-да, уважаемые новички, без понимания как работает эта модель вы будете терять деньги на опционном рынке).
Что же такое Гауссово распределение, оно же распределение Гаусса-Лапласа? Это такое распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:
Важно знать следующие свойства функции плотности распределения Гаусса:
С вероятностью 68,2% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 1 сигма. С вероятностью 95,4% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 2 сигма. С вероятностью 99,7% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 3 сигма.
Что это такое и как с этим работать трейдеру?
Есть удивительный индикатор Боллинджера, который показывает среднюю, верхнюю и нижнюю границу диапазона изменения цены актива, по умолчанию там настроен параметр 2сигма. Таким образом, если бы рынок подчинялся распределению Гаусса, то с вероятностью 95,4% цена не должна выходить за границы диапазона. Но почему же иногда она выходит? Потому что нормальное распределение по Гауссу это всего лишь математическая модель, рынки же в основе своей живут не по распределению Гаусса, на рынках есть тренд и память. Именно поэтому о каком-то случайном блуждании цены говорить не приходится, но в то же время рынки очень часто живут также и по Гауссу, мы это видим во время боковиков, когда цена хаотично движется туда-сюда, но не выходит за границы диапазона. Это как раз частный случай хаотичного движения (пропал тренд).
Более простого изложения на практике «куполообразного» распределение вероятностей я нигде не видел ранее, именно этим меня и цепанула книга Натенберга. Респект автору, умеет он всё же нетривиальные вещи объяснить простым языком.
Случайное блуждание.
Возьмем для примера игру пинбол. Шарик катится вниз через частокол штырьков. Наткнувшись на штырек, он отклоняется вправо или влево с вероятностью 50%. После этого шарик попадает на новый уровень, где натыкается на другой штырек. Наконец, внизу он падает в одну из лунок.
Движение шарика через частокол штырьков называют случайным блужданием. Как только шарик попадает в этот частокол, никто не может повлиять на его траекторию, равно как и предсказать эту траекторию.
Если бросить достаточное количество шариков, то можно получить распределение, которое называется Гауссовым — большинство шариков попадает в центр игрового поля; чем дальше лунки расположены от центра, тем меньше шариков в них оказывается. Такое распределение называется еще нормальным или колоколообразным:
Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описываться колоколообразной кривой, изображенной на рисунке.
Низковолатильное распределение.
Теперь давайте слегка изменим условия игры, поставив вертикальные перегородки таким образом, что теперь, наткнувшись на штырек и отклонившись влево или вправо, шарик опустится до соприкосновения со следующим штырьком не на один, а на два уровня. Если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на рисунке (низковолатильное распределение):
Поскольку боковые движения шариков ограничены, пик этой кривой будет выше, а ее хвосты будут более узкими, чем у кривой на предыдущем рисунке. Несмотря на изменения формы, это по-прежнему кривая нормального распределения, но с несколько иными характеристиками (для тех, кто владеет математическим аппаратом — параметр эксцесс отвечает за высоту пика).
Высоковолатильное распределение.
Наконец, мы можем поставить горизонтальные перегородки так, что, попадая на следующий уровень, шарик будет каждый раз отклоняться на два штырька влево или вправо. И снова, если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное на рисунке:
У этой кривой, которая также отражает нормальное распределение вероятностей, пик намного ниже, а хвосты убывают намного медленнее, чем у кривых на предыдущих рисунках.
Для чего нам всё это нужно было?
Пусть боковые движения шарика символизируют повышательные и понижательные изменения цены базового актива, а движение вниз — течение времени. Если предположить, что цена Ri каждый день повышается или понижается на 2500 пунктов (шаг 1 страйка), то распределение значений цены через 15 дней будет представлено на рисунке с «колоколообразной» плотностью распределения вероятностей.
Если предположить, что цена Ri повышается на 2500 пунктов каждые 2 дня, то распределение будет похоже на рисунок «низковолатильного распределения».
А если предположить, что цена Ri за день растет или падает на 5000 пунктов (2 страйка), то распределение будет напоминать рисунок «высоковолатильного распределения».
Если сегодня Ri стоит 107 500, а срок действия опциона истекает через 15 дней, то как определить стоимость 112 500 колла?
Об этом в следующих сериях.
Если такие вот топики вам заходят — ставьте лайки, жмите колокольчик, пишите каменты.
Открытие про Гауссово распределение, или тайна Иоганна Карла Фридриха Гаусса.
Ну так вот. Есть такая штука – Гауссово распределение. Оно очень часто встречается, оно повсюду. Практически, куда ни плюнь – там гауссово распределение.
И это, между прочим, не метафора! Если начать куда-нибудь плевать, то плевки будут распределятъся именно по гауссу. Поэтому не будет преувеличением сказать, что куда ни плюнь – там гауссово распределение.
Гаусово распределение, или оно еще называется „нормальное распределение“, описывается страшной формулой:
А график его выглядит как колокольчик, вот так:
Ну и возникает вопрос – почему совершенно разные процессы, такие как плевание в потолок, траектория ракеты, или посещаемость избирательных участков (кроме, конечно, российских), описываются именно этой формулой? Даже два вопроса возникает:
1. Какое общее свойство у всех этих процессов? Ведь случайный процесс может быть любым, распределение может быть вообще произвольным. Не может же так случайно получиться, что у кучи совершенно различных процессов распределение описывается одной и той же формулой. Значит, должно быть у них какое-то общее свойство, которое именно этой формулой и описывается. Причем, это должно быть какое-то ОЧЕНЬ ПРОСТОЕ свойство, раз куча совершенно разных процессов им обладает.
Чтобы ответить на оба эти вопроса, возьмем да и построим это Гауссово распределение своими руками.
Но позже. Для начала поясним – о чем вообще речь. 🙂
Есть у нас какая-то величина, назовем ее X. Ну, например, температура в комнате в градусах Цельсия. Она в течении дня принимает разные значения. Например, <18°, 19°, 18°, 18°, 19°, 20° >. Все эти значения можно графически изобразить в виде «гистограммы“:
Или можно отображать значения горизонтальными черточками:
Это дело вкуса, обычно используются горизонтальные черточки. Если X принимает нецелые значения, например, 18.2°, то их округляют до целых.
Вот все эти графики и называются “распределением величины X“. Они просто показывают – как часто X принимает то или иное значение.
Понятно, что распределение может быть любой формы. Но есть такие формы, которые встречаются часто, и у них есть свои названия.
Например: Гауссово (или нормальное) распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, распределение Ландау, и еще всякие разные. Все они исследованы Гауссом, Пуассоном и Ландау соответственно, и их графики описаны аналитически, в виде формул. Ну и вот интересно – почему это одни распределения встречаются чаще, чем другие.
Взять, например, равномерное распределение. Равномерное распределение означает, что величина X распределена равномерно – все значения одинаково вероятны. Формула у него предельно простая:
Казалось бы, это равномерное распределение должно быть самым распространенным.
Ан нет, не тут то было. Куда ни плюнь – все везде распределено по Гауссу, и описывается жуткой формулой.
Гаусс своими руками.
Чтобы понять – что такое Гауссово распределение, почему оно именно такое, и почему оно так часто встречается, возьмем да и построим этого Гаусса своими руками.
# Осторожно. # Дальнейший текст содержит секретную информацию, не известную ни одному аспиранту, # не говоря уже о профессорах и академиках # Читая дальнейший текст, вы подписываетсесь под тем, что читаете его на свой страх и риск. # Автор не несет никакой ответственности ни за что, и ниибет.
Теперь рисуем гистограмму. Наша X распределена вот так:
Возьмем другую случайную величину X1, которая точно так же распределена, и при этом НЕЗАВИСИМА от X. Например, будем кидать еще одну монетку. Добавим ее к нашему X и посмотрим как изменится распределение. Гистограмма суммы двух величин (X+X1) выглядит так:
Прикольно, да? У суммы края разъехались и появился пик в нуле.
Понятно, почему так получается.
Уже, наверное, понятно, что будет дальше. Добавим еще одну величину X2, так же распределенную:
Досыпeм туда еще случайных величин. Сумма 20-ти случайных величин выглядит так:
Получился всеми любимый Гаусс, описываемый жуткой формулой.
(Для сравнения, красная линия показывает идеальный Гаусс, нарисованный по формуле.)
Вот и все, чистая арифметика.
Именно поэтому Гаусс так часто встречается.
И наоборот, если нечто распределено по Гауссу, то можно уверенно сказать, что это нечто является сложным процессом, в который вовлечено много независимых факторов.
Правильный ответ такой – в сумме будет Гаусс. Когда слагаемых много, то эффект от суммирования перевешивает индивидуальные особенности распределений, и в итоге получается Гаусс.
Например, возьмем X распределенный по Ландау (вообще, у Ландау бесконечный хвост вправо, но я его отбросил и сдвинул все немного влево, чтобы центр распределения оказался в нуле).
Вот такая штука получилась:
Ландау неудобно тем, что оно совсем несимметричное. Ну ничего. Сложим два Ландау:
Ага! 🙂 Правый хвост поджался, уже похоже на Гаусс, но не совсем. Теперь сложим сразу 100 Ландау:
Ну уже почти. Возьмем 1000 Ландау:
Уверен, что ни один ученый из тех, кто пользуется Гауссианам, не знает что это такое.
Хотя, может и есть где-то пара специалистов по теории вероятностей, постигших тайну нормального распределения, и по секрету передающих ее из поколения в поколение, кто знает.
Закон нормального распределения, или как его еще называют – кривая Гаусса, является одним из основных столпов в теории вероятности. Его применение можно проследить практически во всех сферах современного человеческого знания, от физики до философии. Я же попробую в кратком обзоре на примерах, объяснить как можно применить этот принцип, при аналитике народных процессов в социологии.
Хотя точное вычисление кривой Гаусса и требует решения довольно сложного уравнения, в этом тексте знания высшей математики вам не потребуются. И так, давайте для начала поймем, в общих чертах, в чем смысл этого графика, на примере изображения, показанного в заголовке статьи. Закон нормального распределения показывает вероятность некоторого значения из некоторой градации этих самых значений. Ось X является цифровым представлением этой самой градации и уходит от нуля в обе стороны до относительной бесконечности (но в некоторых случая она жестка ограничена). Ось Y является показателем величины вероятности значения из градации и может быть от нуля до одного. Сложно? Нет, все просто, взгляните вот на этот график и вам станет все довольно ясно.
Допустим, вы идете по улице, хотите спросить что-то умное у прохожего, и обращаясь к случайному человеку, вы можете быть уверены в том, что с максимально вероятностью он будет человеком среднего ума, в меньшей вероятности, что он будет дураком или умником и в практически минимальной возможности – гением или откровенным тупицей.
Одним словом этот график показывает вероятностное распределение интеллектуальности общества. Таким образом, обратившись к любой позиции на графике, можно сказать, какова вероятность при переборе людей, встретить гения, умного или дурака.
Естественно этот график является просто примером, и может не иметь никакого отношения к реальности. Для реальной же картины подобного рода, должен работать целый статистический комитет. Как можно понять из приведенного примера, график может деформироваться, в ту или иную сторону, и представлять уже иную вероятность. Показанный же график, называется – Стандартным нормальным распределением, потому что такая форма кривой вероятности установлена самой природой. И если мы обратимся в мир биосферы, и будем оценивать разные вероятности, то обнаружим, что данная форма кривой будут доминировать.
В определении ЗНР я указал, что ось X уходит по обе стороны в бесконечность. Дело в том, что оценка, каких либо общественных величин методом живой статистики, является явлением, находящемся только в настоящем времени. Общество не стоит на месте, оно постоянно движется, развивается или деградирует, поэтому сейчас оно одно, завтра другое, а значит, будет и другая форма и положение кривой Гаусса. Если не уходить с позиции стандартного нормального распределения, то для демонстрации вышесказанного можно опереться на ту же кривую вероятности интеллектуальной развитости общества.
График представляет собой пример оценки интеллектуального развития общества за некоторый необъявленный промежуток времени. Зеленая кривая, находящаяся на нуле, показывает положение дел «раньше». Красная и синяя кривые показывают момент «сейчас». Две кривые (красная и синяя) показаны исключительно в качестве иллюстрации, так как в реальной ситуации будет только одна из них, ведь общество не может одновременно развиться и деградировать по одному и тому же критерию оценки. Разбор одной из кривых, например красной, покажет вот такую картину. Общество поумнело на две единицы градации, что стало причиной того, что те люди, которые раньше считались очень умными, стали обычным явлением, те, кого раньше считали гениями, стали частенько встречаться и уже не являются чем-то необычным, а не очень умные в былые времена люди стали считаться чуть ли не дегенератами. Полностью противоположная картина будет при оценке синей кривой. Ее кстати очень хорошо продемонстрировал фильм «Идиократия», в котором «человек со средним умом» попав в будущее, оказался умнейшим человеком на земле, потому что за столетия, общество умственно деградировало настолько, что уровень дегенерата в нем стал среднестатистическим.
На основе понимания и умения выстраивать эти графики, можно не только оценивать движение общества в прошлом, но и строить планы на будущее на основе осознания того, как должно быть. Например, усиленно рассматриваемую мной в последнее время проблему алкоголизации общества, можно привести вот в такой форме. (Это чисто мое субъективное мнение, сформированное не математической статистикой, а тем, что я лично вижу вокруг себя.)
В нормальном же обществе (зеленая кривая), трезвенник должен быть нормой. С минимальным отрывом от него должен идти идейный трезвенник. А вот равнодушный человек, позволяющий не отказаться от рюмочки, уходит в область рецидива, и становиться чуть ли не врагом общества. Пассивных алкоголиков как вы понимаете в том обществе вообще нет, так как они не смогут в нем существовать (они будут откровенными врагами народа, из-за того что понижают этику и демографию общества). Последнее как раз и выражено деформацией зеленой кривой Гаусса.
Ясное дело, что в этом крохотном тексте просто невозможно уложить всю полноту возможных вариантов применения закона нормального распределения в социологии. Но я надеюсь, что почву для размышлений я дал.
На мой взгляд, знанием данного закона, должен обладать любой человек, хотя бы чуть-чуть задумывающийся о своем будущем. А ведь, как известно – свое будущее, прямо зависит от будущего общества в целом, т. е. среды, в которой мы все живем. И если каждый будет знать, куда, а главное как нужно идти, то это уже гарантия уверенности, что мы идем к чему-то лучшему.
