Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как
.
Содержание
Определение
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что
.
Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).
Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.
Определение в декартовых координатах
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).
Физическая интерпретация
С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; — точка поля является стоком; — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
Простым, хоть быть может и несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.
Дивергенция вектора плотности тока даёт минус скорость накопления заряда в электродинамике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нём или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).
Геометрическая интерпретация
Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Дивергенция в физике
В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.
Содержание
Определение
Оператор дивергенции обозначается так: div F.
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Физическая интерпретация
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:
где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат
0>» /> точка поля является источником точка поля является стоком стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга
Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
В этой статье речь пойдет о целочисленном делении и делении с остатком.
То есть например 20 / 5 = 4, 55 / 6 = 9, 100 / 3 = 33 и т.д.
Согласитесь, что в некоторых случаях это очень удобно и практично. Теперь поговорим о реализации этого метода в Паскале. Тут все достаточно просто, открывать Америку не придется. В паскале за целочисленное деление отвечает оператор div. Теперь как это записывается в Pascal’e
Таким образом, вот такая запись (55 / 6) нацело = 9 в результате использования оператора div будет выглядеть так
z будет равно 9. Запомните! При использовании оператора div дробная часть будет отброшена!
А сейчас поговорим о делении с остатком. Оно не особо отличается и главным здесь является то, что в результате отбрасывается как раз целая часть. То есть (40 / 6) с остатком = 4, (10 / 3) с остатком =1, (22 /5) с остатком = 2 и т.д. В паскале для этого есть оператор mod. Записывается он точно так же.
Например (40 / 6) с остатком = 4 с оператором mod будет такой
Кстати оператор mod часто используют, для определения кратности чисел (кратность — это делимость на какое-нибудь число нацело. То есть например говорят, что числа 3, 6, 9, 12, 21 кратны трем. Или числа 5,10,15,20 кратны 5). В статье нахождение четных элементов массива я упоминал о числах кратных двум (четных). Итак как эту кратность определить в паскале. Обратите внимание, что если число кратное, то у него есть остаток (точнее оно имеет в остатке ноль). Этим и стоит воспользоваться.
Сейчас я привел пример условия, которое проверяет кратность, где v — это число, проверяемое на кратность по числу m. Например чтобы проверить, является ли 40 кратным 4, используем оператор mod с условием и получим
Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля – напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.
1.Общие замечания о векторном поле
В физике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.
Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор.
Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.
Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.
2.Понятие потока
Пусть имеется какое-либо векторное поле и некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке .
Потоком вектора через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
или используется ещё обозначение ,где – произведение нормали на площадь.
Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как
,
где – интеграл по замкнутой поверхности.
Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.
Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.
Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.
, div – дивергенция.
Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div r; j; z),
c)Сферическая (r, j, q ).
4.Теорема Остроградского – Гаусса
Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.
5.Теорема Гаусса в физике
Это теорема Гаусса в интегральной форме.
Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.
Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.
Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:
6.Поле бесконечной плоскости
Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.
>
Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то
На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.
7.Поле двух разноименно заряженных плоскостей
8.Поле шара
Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.
Дивергенция — (от лат. divergere — отклоняться, обнаруживать расхождение).
В словаре Д. Н. Ушакова:
Дивергенция — (от франц. divergence) —расхождение в признаках.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Это понятие используется в разных сферах за счет универсальности процесса, который оно характеризует.
Что представляет собой процесс
Дивергенция в биологии, ее характеристики
Этот термин наиболее популярен в биологии. Он был предложен Ч. Дарвином для объяснения эволюционного процесса.
Дивергенция в биологии — это тип эволюции, при котором происходит расхождение признаков у родственных видов и дальнейшее их развитие своим, уникальным образом. Дарвин так объясняет происхождение одних видов животных от других. По мнению учёного, процесс дивергенции лежит в основе эволюции.
Разделение видов становится возможным благодаря следующим причинам:
Дивергенция — прямой результат естественного отбора.
Дивергенция в других сферах с примерами
С понятием дивергенции можно встретиться в таких различных между собой сферах как:
Значение этого термина в математике обычно сложно воспринимается обывателями.
Это дифференциальный оператор, который определяет расхождение входящего и исходящего потоков в малой окрестности точки. Другими словами, отображает векторное поле на скалярное.
Формула определения дивергенции выглядит так:
В расчете исходим из того, что:
где div F — оператор дивергенции, ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V.
Дивергенция является центральным термином в теоретической физике. Она активно используется в электродинамике, электростатике и гравитации.
Дивергенция скорости течения газа, плотности электрического тока, напряженности гравитационного поля.
В авиастроении этот принцип проявляется в скручивании несущей поверхности, которое приводит к разрушению.
В экономике дивергенция лежит в основе расслоения общества, накопления различий.
Выделяют макроэкономическую (расслоение на мировом уровне) и микроэкономическую (расслоение на уровне одного государства) дивергенции.
В трейдинге — это одно из ключевых понятий, которое позволяет предугадать, как поведёт себя рынок в ближайшее время.
На графике дивергенция выглядит как расхождение линии цены и показаний биржевого индикатора.
Выделяют следующие виды дивергенции:
Классическая — дает сигнал к прибыльной продаже, характеризует трендовый разворот.
Скрытая — говорит о продлении действующего тренда, сложна в распознавании, знакома только опытным трейдерам.
Расширенная — свидетельствует о достаточном потенциале рынка для продолжения существующего движения.
Каждый из перечисленных видов может быть как « медвежьей » дивергенцией (прогнозировать восхождение тренда), так и « бычьей » (предупреждать) о том, что рынок может пойти вниз.
По силе проявления различают:
В лингвистике — обозначает расхождение родственных языков, превращение их в отдельные языки.
Славянские языки, которые несколько веков назад были единым наречием. Сейчас это отдельные языки: русский, украинский, болгарский и т.д.
В социологии — возникновение разнообразных политических, культурных, религиозных, идеологических направлений.
Разделение христианства на православие и католичество.
В тектонике — это обозначение расхождения литосферных плит, характеризующееся их движением в противоположные стороны. На поверхности Земли проявляется рифтами — расколом земной коры.
, обозначают как
.
.
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; 
— точка поля является стоком; 
— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
, где 
— коэффициенты Ламе.
.
и некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке 
.
вектора 
через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
,где 
– произведение нормали на площадь.
,
– интеграл по замкнутой поверхности.
, div – дивергенция.
