Четность и нечетность

Соображения четности (нечетности) часто используются при решении математических задач (и элементарных, и весьма «продвинутых»). В данной статье рассматриваются подходы к решению подобных задач.

Мы начнем с простейших примеров, а в заключительной части рассмотрим несколько «олимпиадных» заданий, в решении которых нам помогут соображения четности.

Четные и нечетные числа. Начальные сведения

Сумма, произведение, частное четных (нечетных) чисел

Если вы уже заскучали, переходите ко 2-й части статьи. Потом всегда сможете вернуться. Если же все эти теоретические построения вас не слишком утомили, давайте продолжим.

А почему, собственно, мы рассматриваем только два числа. Давайте мыслить шире!

Так, сумма 2+4+6+. +1022+1024 четна, поскольку все слагаемые четны. Сумма 1+3+5+7+9 нечетна, т. к. содержит 5 нечетных слагаемых. Произведение 2*3*4*. *1001*1002 четно уже хотя бы по той причине, что первый сомножитель является четным.

И вновь о сумме и произведении

Решение. Обозначим исходные числа A и B. Очевидно, возможно 4 варианта:

Во всех случаях (кроме первого) получаем нечетный результат!

Между прочим, наш юный друг Петя утверждает, что получил четное число. Мы доказали, что это невозможно. Петя ошибся.

Сознаю, что первая часть статьи может показаться читателю довольно утомительной и однообразной. К сожалению, обойтись без этих «скучных» базовых понятий нельзя. Обещаю, что дальше будет гораздо интереснее.

Источник

Четные и нечетные числа

Стремление человека делить и половинить сопровождает его всю жизнь. Нас хлебом не корми, дай поделить на два.

Прежде чем разобраться, зачем и почему мы это делаем, давайте познакомимся с определениями.

Четное число — это число, которое делится нацело на 2.

4 : 2 = 2
Это значит, что 4 — четное число.

Нечетное число — это число, которое не делится на 2 без остатка.

5 не делится на 2 без остатка — значит, 5 это нечетное число.

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то это число четное.

Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то это число нечетное.

Если двузначное число круглое, то это число четное. Например, 20, 30, 40, 50 и т. д. — четные числа.

Свойства четных и нечетных чисел

Четные и нечетные числа чередуются друг с другом

1 — нечетное,
2 — четное,
3 — нечетное,
4 — четное,
5 — нечетное,
6 — четное,
7 — нечетное,
8 — четное,
9 — нечетное.

Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.

Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах и числах.

Онлайн-курсы по математике для детей помогут быстрее освоить новую тему при поддержке опытного преподавателя.

Задачи для практики

Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четность и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.

Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?

Ответ: 3 — нечетное, 6 — четное, 9 — нечетное, 12 — четное, 16 — четное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.

Задачка 2. Вставьте в таблицу пропущенные числа. Определите, четное или нечетное получилось число.

2 × 2 = 4 — четное
2 : 2 = 1 — нечетное
4 × 2 = 8 — четное
4 : 2 = 2 — четное
6 × 2 = 12 — четное
6 : 2 = 3 — нечетное
8 × 2 = 16 — четное
8 : 2 = 4 — нечетное
10 × 2 = 20 — четное
10 : 2 = 5 — нечетное

Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?

Посчитаем, сколько в сумме конфет шоколадных и с карамелью:
15 + 12 = 27 (к)

Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом. 17 — нечетное число.

Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у Маши изначально было фотографий?

Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.

Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.

Ответ:
2 — четное, 4 — четное, 7 — нечетное, 8 — четное, 11 — нечетное, 14 — четное, 17 — нечетное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.

Складываем сначала четные: 2 + 4 + 8 + 14 + 18 + 24 = 70

Затем складываем нечетные: 7 + 11 + 17 + 21 = 56
70 + 56 = 126
Число 126 оканчивается на четную цифру 6. Значит, число 126 — четное.

Источник

brenik

Brenik

Насколько сложной может быть задача, составленная на материале начальной школы: сложении, умножении, делении и чётности/нечётности числа?

Оказывается, более 70 лет назад Лотарем Коллатцем сформулирована так называемая проблема «3x+1», над которой бились математики лучших университетов мира, потрачены миллионы часов машинного времени, но никакие усилия к окончательному решению не привели.

В то же время понять условие этой задачи может даже первоклассник. Оно звучит так:
Возьмём какое-нибудь натуральное число. Далее, если число чётное, разделим его на 2, а если нечётное – умножим на 3 и прибавим 1. Затем будем выполнять эти действия с полученным числом. Например, вот что будет происходить, если начать с пятёрки.
5 –>3*5+1=16 –>16/2=8 –> 8/2=4 –>4/2=2 –> 2/2=1 –>1*3+1=4 Круг замкнулся. Теперь мы будем постоянно получать значения 1 –4 – 2.
Требуется узнать, существует ли такое число, начав с которого не скатишься к единице?:

Современная математика не в силах дать ответ на такой, казалось бы, простой вопрос. Даже недавно доказанная великая теорема Ферма – и та формулируется с использованием возведения в степень и целых четырёх переменных. А для задачи 3x+1 на сегодня достоверно известно, что последовательность приходит в единице для всех не более чем девятнадцатизначных чисел, но в общем случае это ничего не доказывает. Есть даже предположение, что проблема 3x+1 – одно из так называемых «недоказуемых» утверждений, существование которых следует из теоремы Гёделя о неполноте.

Однако проследить за поведением отдельных чисел при таком преобразовании – cамо по себе интересное математическое развлечение. Берём число и начинаем из него по приведённому правилу начинаем получать следующие. Попутно можно замечать, до какого максимума удалось подняться и сколько шагов придётся сделать, пока не придём к единице.

Чтобы не щёлкать калькулятором, можно сделать для вычислений таблицу в Excel’е. Создаём новый документ. В ячейку А1 будем вводить число, а в ячейку А2 введём формулу:
=ЕСЛИ(ОСТАТ(A1;2)=0;A1/2;3*A1+1)
В формуле проверяется чётность числа в ячейке А1 и в зависимости от исхода проверки оно либо делится на 2, либо утраивается и прибавляется единица. Затем эту формулу с помощью автозаполнения копируем в остальные ячейки столбца А (для начала можно в первые 200, а там по необходимости продлим). Таблица готова, можно начинать экспериментировать. Советую попробовать ввести число 27. После 77 шагов достигается рекордная для чисел первых пяти сотен отметка: 9232. Однако затем следует сокрушительный обвал – 4 уполовинивания подряд, и в конечном итоге, через 34 шага после пика мы опять-таки приходим к единице.
Однако чтобы анализировать большое количество данных лучше написать программу, что я, собственно, и сделал. Вы вводите, для какого количества натуральных чисел хотели бы получить статистику, и программа выдаёт для каждого наибольшее достигаемое значение и число шагов до единицы. Рекомендуется не вести расчёт больше чем для 50 миллионов чисел.

При анализе статистики также возникают интересные вопросы.

Источник

Приведи несколько примеров.

Если умножать четное и нечетное то получится четное

Если умножать нечетное и нечетное то получится нечетное

Если умножать четное и четное то получится четное 4 * 4 = 16 6 * 2 = 12.

Может ли значение суммы двух чисел быть нечетным числом Какими при этом четными или нечетными должны быть эти два числа Приведи примеры таких чисел?

Может ли значение суммы двух чисел быть нечетным числом Какими при этом четными или нечетными должны быть эти два числа Приведи примеры таких чисел.

Какое число получится : четное или нечетное, если умножать четные числа?

Какое число получится : четное или нечетное, если умножать четные числа?

Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

Какое число получится : четное или нечетное, если складовать нечетные числа?

Какое число получится : четное или нечетное, если складовать нечетные числа?

Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение.

В утверждении вместо рамочки запишите в тетради соответствующие словосочетания : «четное число», «нечетное число’?

В утверждении вместо рамочки запишите в тетради соответствующие словосочетания : «четное число», «нечетное число’.

Какое число получится четное или нечетное если складывать нечетные числа?

Какое число получится четное или нечетное если складывать нечетные числа?

Изменился ли твой ответ если складывать нечётное с четным числом?

Число получится четное или нечетное если четного числа выписать четные числа Приведи несколько примеров подтверждающих Твое предложение?

Число получится четное или нечетное если четного числа выписать четные числа Приведи несколько примеров подтверждающих Твое предложение.

Какое число получится : четное или нечетное, если нечетное число делить на нечетное число при условии, что выполнено деление нацело?

Какое число получится : четное или нечетное, если нечетное число делить на нечетное число при условии, что выполнено деление нацело?

Какое число получится четное или нечетное если четное число делить на четное число при условии что выполнено деление на цело Приведи несколько примеров подтверждающих свои предположения выполни делени?

Какое число получится четное или нечетное если четное число делить на четное число при условии что выполнено деление на цело Приведи несколько примеров подтверждающих свои предположения выполни деление числа 24 на 2, 4 и 8.

Какое число получится четное или нечетное если умножить четное число на нечетное Приведи несколько примеров подтверждающих твой ответ?

Какое число получится четное или нечетное если умножить четное число на нечетное Приведи несколько примеров подтверждающих твой ответ.

Источник

Говорят, что число четно, если оно делится на 2, и нечетно в противном случае. Например, числа 2, 6 и 0 — четные, а 3 и 5 — нечетные.

Оказывается, такая простая идея, как разделение всех числе на два вида – четные и нечетные – очень хорошо помогает решать многие задачи. Но прежде чем перейти к задачам, обратите вниманиекак складываются четные и нечетные числа:

\[\begin \hline \text <ЧЕТ>& + & \text <ЧЕТ>& = & \text <ЧЕТ>\\ \hline НЕЧЕТ & + & ЧЕТ & = & НЕЧЕТ \\ \hline ЧЕТ & + & НЕЧЕТ & = & НЕЧЕТ \\ \hline НЕЧЕТ & + & НЕЧЕТ & = & ЧЕТ \\ \hline \end\]

Почему табличка устроена именно так, и что будет, если слагаемых в сумме больше, как посчитать тогда четность суммы без объемных вычислений?

Оказывается, если нечетных чисел в сумме несколько, их можно попробовать разбить на пары. Если нечетных чисел четное количество, то они все разобьются на пары, в каждой паре сумма получится четной, и в итоге мы будем складывать только четные числа, то есть только числа, делящиеся на 2. Разумеется, мы и получим число, делящееся на 2, то есть четное.

Если же нечетных чисел нечетное количество, то они все без одного разобьются на пары. В каждой паре сумма четная, и мы снова будем складывать четные числа. Но в итоге нам все равно придется прибавить одно нечетное число, а значит, сумма станет нечетной.

Обратите внимание, что от количества четных чисел вообще ничего не зависит!

Теперь посмотрим, как устроено умножение:

\[\begin \hline ЧЕТ & \times & ЧЕТ & = & ЧЕТ \\ \hline НЕЧЕТ & \times & ЧЕТ & = & ЧЕТ \\ \hline ЧЕТ & \times & НЕЧЕТ & = & ЧЕТ \\ \hline НЕЧЕТ & \times & НЕЧЕТ & = & НЕЧЕТ \\ \hline \end\]

Здесь все даже проще: если в произведении есть хотя бы одно четное число, то произведение будет четно. И единственный случай, при котором произведение может быть нечетным, — когда все множители нечетны.

Источник