зачем нужны графики функций
Математические функции в жизни
Описание презентации по отдельным слайдам:
Учебный проект «Применение математических функций в жизни человека и различных науках» Автор проекта: Преподаватель математики Вербицкая Е.В. Энгельс 2015
Возможно ли: определить траекторию полёта космических тел? построить график пословицы «Кашу маслом не испортишь»? задать функцию потребительского спроса?
Цель: выявить и изучить области, в которых применяется функция и её свойства. Задачи: подобрать и проанализировать соответствующую литературу; найти определение функции в школьной программе; Рассмотреть применение функции в точных и естественных науках; Рассмотреть применение функции в истории и филологии; Показать применение функции в жизни человека. Гипотеза: функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека.
История развития понятия функции с древнейших времён до 17 века
Франсуа Виет (1540 – 1603гг.) История развития понятия функции в 17 веке Рене Декарт (1596-1650гг.) Пьер Ферма (1602-1665гг.)
Применение функций в точных науках Графики зависимости физических величин, Звёздный график, Отображение звуковых волн с помощью периодической функции. С помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона слышимости звука пролетающего самолета
Линейная функция График равномерного прямолинейного движения. Физика. Зависимость силы тока y=kx+b, графиком является прямая.
Квадратичная функция График равноускоренного прямолинейного движения Физика. Потенциальная энергия.
Линза; Увеличительное стекло; Отражательный телескоп; Прожектор или фара автомобиля Оптика.
Фазы звуковой волны. Звук, колебания за просторами Земли.
Применение функции в естественных науках
Функциональные зависимости в химии
Биология. График функции: «Развитие организма
Применение функций в биологии и химии. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014.
Применение функции в истории и филологии
Пример изображения исторических закономерностей. «График информационного бума»
Графики пословиц «Каши маслом не испортишь» «Пересев хуже недосева»
«Чем дальше в лес, тем больше дров» «Горяч на почине, да скоро остыл»
«Каково проживёшь, такую славу наживёшь» расстояние до кумы м е р а г р е х а «Дальше кумы – меньше греха»
Применение функции в повседневной жизни человека
Функция потребительского спроса B
Применение линейной функции Взлёт ракеты Дверной замок
Применение квадратичной функции Вращающийся сосуд с жидкостью Падения мяча Траектории струй воды Солнечная электростанция
График таяния льда
Функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.
благодарим за внимание!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-112885
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
На Госуслугах ввели запись детей на кружки и секции
Время чтения: 2 минуты
С 2019 года закрыто более 50 детских лагерей
Время чтения: 1 минута
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах
Время чтения: 1 минута
СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Построение графиков функций
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы! Приходи на пробное занятие с нашими лучшими преподавателями!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Что такое Функция?
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Проект «Графики в нашей жизни»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Проект ГРАФИКИ В НАШЕЙ ЖИЗНИ
Цель: Выяснить, действительно ли нас повсюду окружают графики. Наша цель выяснить, действительно ли нас окружают графики.
Задачи: Узнать историю происхождения графиков. Найти и рассмотреть графики, которые окружают нас в алгебре. 3) Выяснить, как часто люди в жизни встречаются с графиками. Задачи нашего проекта …..
Откуда к нам пришли графики? Начнём с самого начала – узнаем откуда же к нам пришли графики?
Возникновение и понятие функции в Древнем Египте Когда возникли ᴨервые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия необходимо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому ᴨȇреходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, необходимо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые егиᴨȇтские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тем временам) армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды. Именно с помощью графиков строили пирамиды.
Возникновение и понятие функции в Древней Греции В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и в Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.
Рене Декарт Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650).
Прямая пропорциональность у = кх График прямой пропорциональности, этот график проходит через начало координат.
Линейная функция у = кх + в График линейной функции
Квадратичная функция у = х2 Этот график – парабола.
Обратная пропорциональность у = k/x Гипербола.
Синусоида Этот график называется синусоида. Мы пока не изучали этот график на уроках алгебры, но очень много о нём слышали.
Графики в реальной жизни Яблоко растёт, затем его срывают и сушат. ( х – время; у – масса яблока)
Медицина и графики Кардиограмма Энцефалограмма Лечением людей с сердечнососудистыми заболеваниями занимаются врачи-кардиологи. Проводя лечение, врач должен брать на заметку все происходящее, что поможет назначить правильные лекарственные препараты. Чтобы быть достаточно уверенным при назначении лечения врач обращается к помощи электрокардиограммы. Под кардиограммой подразумевается кривая (график), с помощью которой можно определить истинную активность сердечной мышцы. Под кардиограммой и энцефалограммой подразумевается кривая (график), с помощью которой можно определить истинную активность сердечной мышцы в кардиограмме и активность мозговой деятельности в энцефалограмме.
Графики в социальной сфере ГРАФИК КОЛЕБАНИЯ ПАРТИЙНЫХ РЕЙТИНГОВ ВЫБОРОВ В ГОСДУМУ 2011 ГОДА. Данные социологического опроса. График величины среднего числа рожденных детей по федеральным округам Российской Федерации (на 1000 всех женщин в возрасте 15 лет и старше, указавших это число). Изменение уровня образования и уровня занятости населения по возрастным группам в 1989 и 2002гг.
Прогноз погоды и графики Профессия человека, который занимается подготовкой прогноза погоды, называется метеоролог. Метеоролог не может оставить свое рабочее место ни на одну минуту. Информация, представленная в виде таблицы не дает наглядности об изменении температуры, скорости ветра и т.д. в течение какого-либо промежутка времени, гораздо лучше эту информацию воспринимать в виде графиков. Она наиболее удобна для восприятия, и прочитать (запомнить) ее можно с первого взгляда.
Закон экологического оптимума Влияние температуры на скорость роста растения (иллюстрация) действия закона толерантности)) Интерпретация закона толерантности на примере воздействия на организм концентрации некоего вещества как экологического фактора Любой живой организм имеет определенные, эволюционно унаследованные верхний и нижний пределы устойчивости (толерантности) к любому экологическому фактору. Другая формулировка закона В. Шелфорда поясняет, почему закон толерантности одновременно называют законом лимитирующих факторов: Даже единственный фактор за пределами зоны своего оптимума приводит к стрессовому состоянию организма и в пределе – к его гибели.
Пересев хуже недосева Пересев хуже недосева. Урожайность возрастает в зависимости от кол – ва семян на единицу площади ( S ) до определённого предела. Преувеличение дозы кол – ва семян сверх определённой нормы приводит к резкому спаду урожайности, причиной этого является нехватка необходимых веществ в почве для роста растения. Растения затмевают друг друга, не давая развиваться корню и стеблю. Следствием этого является резкий спад урожайности. Что представлено на графике.
Проценты На следующий наш вопрос – Где встречаются графики в повседневной жизни – наши ученики считают, к нашему удивлению – чаще всего графики встречаются в прогнозе погоды в программе новостей, что и показывает нам график.
Опрос № 2: «Что мешает нам хорошо учиться?» Выявление причин, вызывающих усталость от учёбы в школе
Психология Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому Т лет (Т меньше 18), должен спать в сутки t часов, где t определяется по формуле t = 17 – Т/2. Найдите Т(2); Т(13) ; Т(16).
Астрономия Крабовидная туманность в созвездии Тельца расширяется со скоростью 1500 км/с. На какое расстояние расширяется туманность за минуту, за час? Постройте график. Решение задачи.
С помощью графиков функций можно рисовать картины, рисунки выполненные в стиле графики можно описать известными графиками функций. Рассмотрим внимательно репродукцию картины Н.В. Кузмина «Онегин на балу». Если вглядеться в эти прерывистые линии – то можно увидеть, что они представляют собой графики различных функций. Рисунок выполнен в стиле графики, а что такое графика?