зачем нужна дискретная математика
Основы дискретной математики
Привет, хабр. В преддверии старта базового курса «Математика для Data Science» делимся с вами переводом еще одного полезного материала.
Об этой статье
Эта статья содержит лишь малую часть информации по заявленной теме. Рассматривайте ее как вводный курс перед началом всестороннего изучения предмета. Надеюсь, вы найдете в ней полезную информацию. Знание дискретной математики помогает описывать объекты и задачи в информатике, особенно когда дело касается алгоритмов, языков программирования, баз данных и криптографии. В дальнейшем я планирую подробнее раскрыть темы, затронутые в этой статье. Приятного чтения!
ЧТО ТАКОЕ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА?
Это область математики, изучающая объекты, которые могут принимать только уникальные отдельные значения.
Мы рассмотрим пять основных разделов в следующем порядке.
ЛОГИКА
Что такое логика?
Это наука о корректных рассуждениях. Мы будем использовать приемы идеализации и формализации. Неформальная логика изучает использование аргументов в естественном языке.
Формальная логика анализирует выводы с чисто формальным содержанием. Примерами формальной логики являются символическая логика и силлогистическая логика (о которой писал Аристотель).
Начнем с азов. Рассмотрим следующее высказывание на естественном языке:
«Если я голоден, я ем».
Пусть «голоден» будет посылкой A, а «ем» — следствием B. Попробуем формализовать:
A => B (то есть из A следует B)
NB. Посылка и следствие являются суждениями.
Логические выражения
Для нас важна форма, а НЕ содержание. Значение будет истинным, если оно соответствует форме.
Например, 10 4 — ИСТИНА.
Логические операции
Суждение P — это утверждение, которое может быть как истинным, так и ложным.
Обозначим истинное значение P единицей (1), а ложное значение P нулем (0).
Существует другое суждение; обозначим истинное значение Q единицей (1), а ложное значение Q нулем (0).
Рассмотрим логические операции с суждениями, значение которых истинно. Они могут сами образовывать истинные значения путем выполнения соответствующих операций над истинными значениями.
Дискретные структуры: матан для айтишников
Посмотришь на любую программу обучения по IT-специальности, и тут же увидишь дисциплину «Дискретная математика» (возможно, под другим названием), обычно для перво- или второкурсников. И её наличие вполне разумно, поскольку дискретная математика и непрерывная математика (представленная на первом курсе институтов с незапамятных времён математическим анализом) — две грани единой Математики, — красивой, могучей науки.
Хотя раньше такого понятия, как «дискретная математика» вовсе не было, это не значит, что не возникало дискретных задач: Абель, Дирихле, Фибоначчи, Эйлер, чьи имена возникают по ходу изучения дискретной математики, — отнюдь не наши современники! Но просто в те времена для выделения самостоятельной ветви математики ещё не сложилось критической массы задач и приёмов, не было видно взаимосвязей между ними. А большое количество плодотворных взаимосвязей между, на первый взгляд, различными понятиями, — то, что математики в своей науке очень ценят.
Ну хорошо, математикам всё математическое интересно. А зачем дискретная математика программисту?
Зачем это айтишнику
Во-первых, многие идеи, которые особенно ярко иллюстрируются на дискретных задачах, неотъемлемы и для информатики. Взять, хотя бы, фундаментальные понятия рекурсии и индукции.
Рекурсия — это, дословно, возврат, обращение к самому себе. Хорошо известные вездесущие числа Фибоначчи проще всего определяются рекурсивно: первые два числа Фибоначчи равны единице, а каждое следующее число равно сумме двух своих предшественников: 1,1,2,3,5,8,… Таким образом, для вычисления очередного числа мы обращаемся к уже рассчитанным числам такого же вида. Трудно представить, как можно изучить функциональное программирование, да и многое из других областей информатики, не освоившись хорошо с рекурсией. Очень близкий процесс к рекурсии — это индукция, способ доказательства математических утверждений, при котором в доказательстве сложных случаев мы опираемся на более простые. Параллели с рекурсией очевидны, и действительно, обычное дело, когда индуктивное доказательство существования какого-то объекта можно переформулировать в описание рекурсивного способа построения этого объекта.
Раз речь зашла о таких фундаментальных вещах, как индукция и рекурсия, не могу не сказать, что многие приёмы, которые очень хорошо видны на примерах из дискретной математики, эффективны в математике в целом. Это не только индукция, но и принцип Дирихле, принцип выбора по среднему значению и другие.
Следующий элемент, без которого информатику нельзя представить — это графы. Простейшие алгоритмы на графах обязательно входят в любой, даже самый вводный, курс по алгоритмам. Скажем, с понятием гамильтонова цикла связана одна из классических задач информатики, задача коммивояжёра.
Ещё одно архиважное умение — считать точно и оценивать приблизительно количества. Например, как вычислить количество раз, которые выполняется операция сравнения в цикле:
Или вот ещё пример. Нужно из списка из 100 товаров выбрать 20, так, чтобы их суммарная стоимость была ровно 2000 рублей («без сдачи»). Это вариант классической задачи о рюкзаке. Допустим, ваш коллега, подумав ночь, предложил решать задачу перебором: перебрать всевозможные наборы из двадцати товаров, и, как только в ходе перебора возникнет нужный набор, выдать его в качестве ответа. Между прочим, характеристика «переборный» далеко не всегда ставит клеймо на алгоритме. Всё зависит от размера входных данных. Так вот, как прикинуть, удастся ли за разумное время решить перебором эту задачу выбора 20 объектов из 100?
Наконец, для современного «дизайнера алгоритмов» обязателен к пониманию и вероятностный метод. Это общий метод, позволяющей решать многие задачи в современной комбинаторике. Очень часто наилучшие решения задач, известные на сегодняшний день, получены именно этим методом. Для практика же овладение этим методом полезно постольку, поскольку вероятностные алгоритмы прочно заняли место в современной информатике. И при анализе работы таких алгоритмов очень помогает интуиция, развитая в ходе изучения вероятностного метода.
Онлайн-курс «Дискретные структуры»
С верой в то, что перечисленные понятия из дискретной математики действительно не помешают любому программисту, а, скорее, помешает их незнание, я читаю соответствующий курс на факультете ФИВТ МФТИ. А недавно у меня появилась возможность сделать онлайн-курс, чем я с радостью воспользовался. Записаться на него можно по ссылке. Главное, чего я пожелаю всем записавшимся: не побоявшись трудностей, пройти курс до самого конца, и получить заслуженное звание Дипломированного Дискретчика. В общем, чтобы MOOC прошёл без мук и обогатил знаниями! Да и собственная корысть у меня тут тоже есть: чем больше онлайн-учеников у меня будет, тем большему я смогу научиться, читая обсуждения и наблюдая статистику решения задач. Ведь учиться учить тоже никогда не поздно!
Какие знания потребуются
Для прохождения первых двух модулей потребуются только школьные знания. Третий модуль потребует знание основ математического анализа на уровне «что такое предел» и «какая из функций x 20 или 2 x растёт быстрее (чему равны производные функций)». Для последних трёх модулей понадобится представление о том, что такое вероятность, условная вероятность, математическое ожидание, дисперсия. Также хорошо бы знать, что такое базис и размерность линейного пространства. Если с вероятностью и линейной алгеброй вы не знакомы, можно записаться заодно на эти вводные курсы. Тогда как раз, к моменту, когда нам потребуются эти знания, они у вас будут.
Post scriptum
Меня можно было бы упрекнуть в конфликте интересов, всё-таки я математик, и, естественно, хочу приобщить к своей секте как можно больше завсегдатаев Хабра. В своё оправдание могу сослаться на этот ответ на Quora. Под большей частью тем, перечисленных в этом ответе, я готов лично подписаться, в онлайн-курс многие из них вошли. Ещё сошлюсь на подборку мнений яндексоидов.
Почему школам важно уделять больше времени изучению дискретной математики
Автор материала приводит аргументы в пользу изучения дискретной математики на этапе школьного образования.
Большинство программ по математике [в США] для средних и старших классов следуют четко прописанной схеме:
Предалгебраические задачи → Алгебра 1 → Геометрия → Алгебра 2 → Тригонометрия/начала матанализа → Матанализ
В некоторых других школах предпочтение отдается более комплексному подходу, в рамках которого элементы алгебры, геометрии и тригонометрии подаются смешанно в течение 3-х или 4-х летнего курса. Однако обоим методикам недостает существенного акцента на дискретную математику и такие ее разделы, как комбинаторика, теория вероятности, теория чисел, теория множеств, логика, алгоритмы и теория графов. Дискретная математика очень мало фигурирует в большинстве «критически важных» промежуточных экзаменов средних и старших классов. Аналогично ситуация обстоит и с приемными экзаменами для вузов и колледжей, таких, как SAT. Из-за этого дискретной математике часто уделяется мало внимания.
Тем не менее эта область знаний в последние годы становится все более и более важным направлением. И на то есть целый ряд причин:
Дискретная математика играет существенную роль в изучении математики в колледжах, вузах и более высоких ступенях.
Дискретная математика наряду с численными методами и общей алгеброй входит в список фундаментальные компонентов математики вузовского уровня. Ученики, получившие солидный объем знаний по дискретной математике перед поступлением в колледж, получают существенное преимущество во время дальнейшей учебы.
Дискретная математика — это математика вычислительных процессов.
Все вычисления современной компьютерной науки практически полностью основаны на дискретной математике, и в частности, комбинаторике и теории графов. Это значит, что для изучения фундаментальных алгоритмов, используемых компьютерными программистами, студентам требуется иметь твердые знания в этих областях. Действительно, для получения диплома в области компьютерных наук в большинстве университетов предусмотрен соответствующий обязательный курс по дискретной математике.
Дискретная математика больше всего приближена к задачам реального мира.
Многие учащиеся часто задаются вопросами о том, где в реальной жизни им может пригодится традиционная высшая математика, то есть алгебра, геометрия, тригонометрия и другие ее направления. Часто, глядя на абстрактную природу этих предметов, они теряют к ним интерес. Дискретная математика, и в частности, комбинаторика и теория вероятности, позволяют ученикам даже уровня средней школы очень быстро прийти к изучению интересных и нетривиальных задач, имеющих прямое отношение к задачам реального мира.
Дискретная математика — популярное направление большинства математических соревнований средней и старшей школы.
Видные математические олимпиады вроде MATHCOUNTS (средняя школа) и American Mathematics Competitions (старшие классы) включают значительное количество заданий по дискретной математике. В более сложных соревнования для старшеклассников, таких, как AIME, количество задач увеличивается еще сильнее. Ученики, не имеющие соответствующей базы знаний будут иметь гораздо меньше шансов на успех в таких соревнованиях. Один известный преподаватель, занимающийся подготовкой учеников к MATHCOUNTS, даже уделяет половину времени подготовке к заданиям по комбинаторике и теории вероятности. Настолько он считает их важными.
Дискретная математика развивает логическое мышление и учит техникам доказательства.
Алгебра часто преподается в виде совокупности формул и алгоритмов, которые ученики должны запомнить. Например, формула корней квадратного уравнения, или решение систем линейных уравнений путем замены. Геометрия часто преподается как серия упражнений, доказывающих теоремы и объясняющих их суть, которые нередко предлагается заучить наизусть. Несмотря на несомненную важность изучения подобного материала, в целом он не очень хорошо способствует развитию творческого математического мышления учеников. В противовес этому, изучающие дискретную математику дети учатся мыслить гибко и творчески уже с самого начала. Количество формул, которые требуется знать наизусть, относительно невелико. В этой области знаний акцент делается скорее на потребность изучить некоторое количество фундаментальных понятий, которые впоследствие можно применять совершенно по-разному.
Дискретная математика — это весело.
Многие студенты, особенно одаренные и мотивированные находят алгебру, геометрию и даже методы матанализа скучными, не вызывающими живого интереса. Что же касается дискретной математики, то в ней такие темы встречаются редко. Когда мы интересуемся у учащихся их любимыми темами, большинство называет комбинаторику или теорию чисел. Самой непопулярной темой при этом оказывается геометрия. Иными словами, большинство студентов находят дискретную математику более интересной, чем алгебра или геометрия.
Исходя из всех этих аргументов, мы настоятельно рекомендуем строить программу так, чтобы после изучения геометрии, школы уделяли некоторое время ознакомлению учеников с элементарными идеями дискретной математики, и в частности, комбинаторики, теории вероятности и теории чисел.
Дискретная математика: для чего они нужны, теория множеств
Содержание:
В дискретная математика Они соответствуют той области математики, которая отвечает за изучение набора натуральных чисел; то есть набор счетных конечных и бесконечных чисел, в котором элементы можно пересчитывать отдельно, один за другим.
Эти наборы известны как дискретные наборы; Примером этих наборов являются целые числа, графики или логические выражения, и они применяются в различных областях науки, в основном в информатике или вычислениях.
Описание
В дискретной математике процессы счетные, в их основе лежат целые числа. Это означает, что десятичные числа не используются и, следовательно, приближения или пределы не используются, как в других областях. Например, неизвестное значение может быть равно 5 или 6, но не 4,99 или 5,9.
С другой стороны, в графическом представлении переменные будут дискретными и даны из конечного набора точек, которые подсчитываются одна за другой, как показано на изображении:
Дискретная математика возникает из-за необходимости получить точное исследование, которое можно объединить и проверить, чтобы применить его в разных областях.
Для чего нужна дискретная математика?
Дискретная математика используется во многих областях. Среди основных можно выделить следующие:
Комбинаторный
Изучите конечные наборы, в которых элементы можно упорядочивать, комбинировать и подсчитывать.
Теория дискретного распределения
Изучите события, которые происходят в пространствах, где выборки могут быть счетными, в которых непрерывные распределения используются для аппроксимации дискретных распределений, или наоборот.
Теория информации
Это относится к кодированию информации, используемой для разработки, передачи и хранения данных, таких как аналоговые сигналы.
Вычисление
С помощью дискретной математики задачи решаются с использованием алгоритмов, а также того, что можно вычислить, и времени, которое требуется для этого (сложность).
Важность дискретной математики в этой области возросла в последние десятилетия, особенно для развития языков программирования и программирования. программное обеспечение.
Криптография
Он полагается на дискретную математику для создания структур безопасности или методов шифрования. Примером этого приложения являются пароли, отправляющие биты, содержащие информацию, отдельно.
Благодаря изучению свойств целых и простых чисел (теория чисел) эти методы безопасности могут быть созданы или уничтожены.
Логика
Для доказательства теорем или, например, проверки программного обеспечения используются дискретные структуры, которые обычно образуют конечное множество.
Теория графов
Он позволяет решать логические проблемы, используя узлы и линии, которые образуют тип графа, как показано на следующем изображении:
Это область, тесно связанная с дискретной математикой, потому что алгебраические выражения дискретны. Благодаря этому разрабатываются электронные схемы, процессоры, программирование (булева алгебра) и базы данных (реляционная алгебра).
Геометрия
Изучите комбинаторные свойства геометрических объектов, например плоского покрытия. С другой стороны, вычислительная геометрия позволяет разрабатывать геометрические задачи, применяя алгоритмы.
Теория множеств
В дискретной математике множества (конечные и бесконечные счетные) являются основной целью исследования. Теория множеств была опубликована Джорджем Кантором, который показал, что все бесконечные множества имеют одинаковый размер.
В математике существуют различные наборы, которые группируют определенные числа в соответствии с их характеристиками. Так, например, имеем:
Наборы именуются прописными буквами алфавита; а элементы названы строчными буквами в фигурных скобках (<>) и разделены запятыми (,). Обычно они представлены в виде диаграмм Венна и Кэролла, а также в виде вычислений.
С помощью основных операций, таких как объединение, пересечение, дополнение, различие и декартово произведение, наборы и их элементы управляются на основе отношения принадлежности.
Существует несколько классов множеств, наиболее изученными в дискретной математике являются следующие:
Конечный набор
Он состоит из конечного числа элементов и соответствует натуральному числу. Так, например, A = <1, 2, 3,4>— это конечное множество, состоящее из 4 элементов.
Бесконечный набор учетных записей
Это тот, в котором существует соответствие между элементами множества и натуральными числами; то есть из одного элемента могут быть последовательно перечислены все элементы набора.
Таким образом, каждый элемент будет соответствовать каждому элементу набора натуральных чисел. Например:
Это метод, используемый для решения непрерывных задач (моделей и уравнений), которые необходимо преобразовать в дискретные задачи, в которых решение известно с приближением решения непрерывной задачи.
С другой стороны, дискретизация пытается извлечь конечную величину из бесконечного множества точек; Таким образом, непрерывная единица превращается в отдельные единицы.
Обычно этот метод используется в численном анализе, например, при решении дифференциального уравнения, с помощью функции, которая представлена конечным количеством данных в своей области, даже если она является непрерывной.
Ссылки
Что такое коэффициент пропорциональности? (Упражнения решены)
Зачем нужна дискретная математика
В современном мире, это всё прописывается машинно. (паяльник остался в 90-х) И к этой машине имеют доступ только свои (специально выращенные) потомственные специалисты которые не говорят на Русском и которых много не надо.
*
Сдай и забудь!
Дискретная математика в чистом виде это просто формальная математическая логика. А в жизни без логики очень хреново.
Видать, не то ты искал или не так. Или спрашивал не у тех людей.
САПР системы для дорожек уже хз сколько лет существуют.
А теория множеств у алгебраистов используется для всяких доказательств.
Ну и теориям баз данных уже не один десяток лет.
О! Про кластера в телевизоре показывают
мне вот проективная геометрия вообще в жизни не пригодилась, равно как и теория вероятностей, и дискретка, и линейная алгебра, и даже матан
На работе вводят QR-коды, у нас все жуткие антипрививочники. Один мужик переживает:
— Жена на порог не пустит, если узнает, что привился.
— А ты ей скажи, что купил.
— Точно! А десятку пропить можно!
Вот так и становятся прививочниками.
Ответ на пост «Упростил»
Зарегистрировался на Мамбе в 2013. Так просто, поглазеть на девчонок. Часто попадалась девушка, которую знал в лицо, но никак не мог вспомнить откуда). Через пару дней вспомнилось, что мы учились в школе в параллельных классах.
Я написал ей, предложил погулять. Она согласилась.)
Оказалось, в тот день она зашла в приложение чтобы удалить страницу, а я как раз успел с ней связаться.
Помимо того, что мы учились в одной школе с первого по одиннадцатый класс, так еще мы с ней родились в один день, в одном роддоме, живём в одном районе.
Короче сплошные совпадения)
Вот уже восемь лет вместе) Прошли вместе с ней огонь и воду, и медные трубы.
Тут каждый сам за себя
Огнетушитель в студию
Маска
Попытка дать люлей не удалась
В Люберцах 3 кавказца наехали на русского, пытались замесить толпой, но на помощь прибежали неравнодушные
Бесит
Дискриминация
C 11.11, ребят!
С Великой Распродажей, ребят!
«I feel good»
Месть кассирши
Озон подсуетился и выпустил рекламу в стиле 90-х:)
В продолжении тренда Pikabu «Были времена! Все рекламировались, как умели «
Ну и конечно ручки-загребучки. Куда без них)
Пластилиновый рукожоп
В сеть утекла предварительная обложка журнала Time
В связи с арестом, пост более актуальный. Рыцари свежего, это повтор)
Где вклады, Лебовски?
Нам 180 лет, но вклады и сбережения у Вас были в другом банке.
Нейтральное освещение событий
Про воспоминания о «прекрасной» жизни в деревне:-)
Продвинутый грузовик с новосибирскими номерами
Как по мне, это довольно сильно отвлекает других водителей от дороги, но идея конечно крутая и довольно прикольная.
11 июля пенсионеры Рачковские впервые приехали в аэропорт, чтобы улететь в Турцию. «У вас есть что декларировать?» — спросила сотрудница таможни у жены, когда та пересекла зеленую линию коридора. «У меня — нет, муж сейчас подойдет», — ответила она. Тут и муж Александр поспешил пересечь зеленую линию: «Компьютер и деньги». Но было поздно. История в деталях выглядит драматично.
Александру Рачковскому в начале года исполнилось 65 лет. Весной у них с супругой умер сын, инвалид 1 группы, который жил с ними вместе с многолетним уходом со стороны родителей. Когда-то именно для него Александр купил дом с участком, и семья проводила там время.
Эту сумму Александр придумал потратить в Турции, поменяв на жилье.
В суде он объяснил все так:
— Я просмотрел множество сайтов, были разные варианты инвестиций: Болгария, Россия, Грузия. Остановились на Турции, потому что дешевле, теплее, Средиземное море. Получил предложения, и ехали смотреть варианты. Для этого взял с собой деньги.
Довольно решительно для пенсионера — пассивный доход за границей. Это единственное, что выбивается из первых впечатлений о Рачковском. Со стороны это уставший, расстроенный человек с тихим, вздыхающим голосом, инвалид II группы. Который первый раз приезжает в аэропорт (летал до этого при СССР), волнуется за жену, которая последние 5 или 6 лет сидела дома с сыном, совершая «микровылазки» на улицу, и делает этот глупый шаг, «чтобы уточнить».
— Вину признаете? — спрашивает судья Партизанского района Минска Макаревич.
— В том, что по незнанию заступил за линию зеленого коридора.
В суде зачитали стенограмму записи с камеры «Дозор», которая была на форме сотрудницы таможни в тот день.
Сотрудник таможни: Здравствуйте, вам декларировать ничего не надо?
Жена Рачковского: У меня — нет, муж сейчас подойдет туда.
Рачковский: Я подойду.
Сотрудник таможни: Куда вы пойдете?
Рачковский: В красный.
Сотрудник таможни: Вам надо было сразу в красный. Поясните, что вы хотели декларировать?
Рачковский: Я еще не зашел, вот я вышел обратно.
Сотрудник таможни: Вы зашли уже в зеленый. Что вы хотите декларировать?
Рачковский: Деньги и компьютер.
Сотрудник таможни: Хорошо. Какую сумму?
Рачковский: 70 тысяч.
Дальше уже не читали. Судья прокомментировал скрин с записи камеры наблюдения: «Видно, что Александр Николаевич пересек зеленую черту (пусть изображение черно-белое, тем не менее) и стоит ориентировочно в 30 сантиметрах за ней».
В своих показаниях Александр Рачковский сказал следующее:
— Мне было известно про коридоры: я слышал и читал о необходимости декларировать суммы свыше 10 тысяч долларов перед вылетом. И собирался это делать. С собой у меня был документ купли-продажи для доказательства законного происхождения суммы и проект договора с турецкой компанией.
Во-вторых, мне нужно было обратиться к инспектору — в красном коридоре никого не было. Единственный человек, у которого я мог спросить о декларировании денег, — сотрудница за «зеленой» стойкой.
Да, я признаю вину в том, что по незнанию заступил в зеленый коридор. Я думал, что «коридор» — это коридор, а не зеленая линия на полу.
Когда меня спросили, нужно ли мне что-то декларировать, я сразу сказал да. Ведь я стоял, не пробегал. И сказал, что мне нужно в красный коридор. Но мне ответили, что я уже в зеленом и назад дороги нет.
Я добровольно предъявил все деньги. Совершенно не было никакого желания и повода их скрывать. У меня были документы, подтверждающие происхождение.
Сотрудница таможни, остановившая Рачковских, была вызвана в качестве свидетеля.
— В тот день я работала в зале вылета. Шел рейс в Анталию. Я находилась в зеленом коридоре и проводила выборочный контроль. В зеленом коридоре следовала дама, я спросила, есть ли у нее товары, которые подлежат декларированию. Она ответила, что нет, но у супруга есть. Буквально через пару секунд он подошел и сказал — да. Я спросила, почему он не пошел по красному коридору. Он потом пояснял, что беспокоился за жену.
Она подтвердила, что в красном коридоре не было сотрудника на входе.
— У нас расписан весь зал вылета. Никто там и не обязан был находиться. Я обычно становлюсь рядом и одновременно контролирую красный коридор, а коллега находится дальше.
Перед оглашением решения защитник Рачковского обратился к суду с просьбой освободить его подзащитного от административной ответственности.
— Изъятые деньги были получены законным путем. На руках были конкретные объекты недвижимости. Он не отрицает, что заступил за линию. Но важно понять форму вины — это неосторожность. Мой клиент впервые был в аэропорту, имел большую сумму денег, находился в стрессовом состоянии. Все это в совокупности привело к составу административного правонарушения. Он добровольно во всем признался, отвечал на вопросы и предоставил все деньги, дав пояснения. Если суд не увидит, что можно освободить от ответственности, просим не применять конфискацию с учетом всех обстоятельств.
Суд постановил привлечь Александра Рачковского к административной ответственности по части 2 ст. 15.5 КоАП.
— Наложить административное взыскание в виде штрафа в размере 10 базовых величин с конфискацией в доход государства наличных денежных средств, не задекларированных в установленном порядке, — на сумму 60 800 долларов и 400 рублей. 10 тысяч долларов вернуть Александру Николаевичу.
Решение суда может быть обжаловано в Минском городском суде.