основы мыслительной деятельности учащихся при обучении математике

Развитие мыслительных процессов на уроках математики

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

«Развитие мыслительных процессов

«Величие человека в его способности мыслить».

В связи с изменившимися требованиями ФГОС ООО к подготовке выпускника школы особое значение приобретает вопрос формирования культуры мышления школьника.

Анализ основной образовательной программы по математике показывает, что развитие мыслительной деятельности учащихся является одной из основных задач изучения предмета.

Мыслительная деятельность человека представляет собой решение разнообразных мыслительных задач, направленных на раскрытие сущности чего-либо. Мыслительная операция – это один из способов мыслительной деятельности, посредством которой человек решает мыслительные задачи.

Мыслительные задачи разнообразны. Это – анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация. Применение логической операции зависит от задачи и цели информации, которую он подвергает мыслительной переработке.

Формирование мыслительных процессов у младших школьников имеет свои особенности:

-совершается переход от наглядно-образного к словесно-логическому (понятийному) мышлению;

-мышление 1-классника преимущественно конкретно опирается на наглядные образы и представления;

-развиваются основные мыслительные действия и приёмы: сравнения, выделения существенных и несущественных признаков, обобщения, определения понятия, выведения следствия и другие.

Все эти процессы являются основой мыслительной деятельности и поэтому уже с первого класса необходимо уделять внимание целенаправленной работе по обучению детей основным приёмам мыслительной деятельности.

Первым указал на целесообразность использования опорных схем в развитии мышления Н.И.Жинкин. Опорная схема – это внешний аналог схем внутренней речи: «Большую роль во внутренней речи выполняют наглядные представления и схемы, которые предварительно были сформированы при помощи словесного синтеза, а в дальнейшем могут выступать как экономные заместители этих словесных структур».

Математику изучают все. В какой-то мере каждый человек ее знает. В общеобразовательной средней школе математика занимает видное место. Математические знания, полученные в школе, обеспечивают несложные потребности повседневной жизни некоторых профессий.

Должно быть, многие из учителей не раз приходили в отчаяние на пути обучения математике: почему же никак все учащиеся не могут решить задачу, понять ту или иную математическую истину. Действительно, учиться математике не легко. Да и научить всех тоже сложно. Русский писатель прошлого века Д. И. Писарев даже утверждал, что «математика всегда остается для учеников трудной работой». Несомненно, математика требует большого труда, ибо ее нельзя изучить, только наблюдая за тем, как это делают другие. Надо самому много и ежедневно работать над изучением математики, и только тогда она принесет им пользу, и большую радость от преодоления трудностей, радость познания. Известный педагог В. А. Сухомлинский по этому поводу писал: «Ребенок, никогда не познавший радости труда в учении, не переживший гордости от того, что трудности преодолены,- это несчастный человек». Наша задача сделать учащихся счастливыми, помочь им ощутить радость в учении. Гордость за свои успехи. Что для этого надо? Надо научить детей учиться математике. Все трудности, связанные с усвоением математики, происходят от того, что учащиеся не владеют техникой учения, не владеют математическим языком.

В математике существует особый язык. Что это такое? Математический язык – это система математических знаков и символов, к которым относятся чертежи, таблицы, опорные схемы.

Известно, что младшим школьникам в значительной степени свойственно наглядно-образное мышление. Они уже могут решать задачи в уме, оперируя образами. Любой иллюстрированный материал несет в себе какой-то элемент абстракции – в меньшей степени картины, кинофильмы, в большей- таблицы, еще в более высокой- схемы. Работа с последними очень полезна для детей.

В этом возрасте начинает формироваться логическое мышление, которое необходимо развивать и для которого нужна «пища». Другими словами, способность мыслить символами приходит не сама по себе.

Кроме того, известно, что во многих случаях уже шестилетние дети лучше усваивают содержание предмета именно через абстрактные формы. Особенно это характерно для уроков математики.

Именно схема является одной из наиболее доступных форм абстракции для маленьких школьников. Не зря психологи (Л. А. Венгер) называют уровень наглядно-образного мышления, которого достигают дети этого возраста, наглядно-схематическим, основой логического мышления.

Хорошо продуманная графическая схема позволяет разчленить сложный вопрос на ряд детальных пунктов, выразить их в условной форме, с тем, чтобы сконцентрировать внимание с учащимися на существование проблемы. Такая схема позволяет наметить контур проблемы, построить ее скелет, что, несомненно, облегчает усвоение наиболее трудных вопросов математики.

Качество восприятия во многом зависит от колличества участвующих в восприятии анализаторов. Это бесспорно. Именно по этому, обращаясь к зрительным образам в форме строгих, стандартных и оригинальных опорных сигналов, учитель повышает интерес учащихся к излагаемому материалу и способствует более прочному его усвоению.

Красочные, многообразные и необычные опорные схемы притягивают ребят, создают на уроке соревновательную, игровую обстановку, побуждают к активному познанию, к поиску, что в высшей степени важно, изменяют качество учебной деятельности, содействуют достижению высоких результатов. Без трудолюбия не возникнут целеустремленность, настойчивость в поиске, пытливость, наблюдательность, аналитичность и другие составляющие таланта.

В своей практике, начиная с первого класса формирую у учащихся умение записывать простую задачу по-разному: предметным или абстрактным рисунком, краткой записью, схемой, таблицей, чертежом.

Рассмотрим типовые способы моделирования простых задач в одно действие.

Источник

Развитие мыслительной деятельности на уроках математики

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Развитие мыслительной деятельности учащихся на уроках математики.

Знание только тогда знание, когда оно приобретено

усилиями своей мысли, а не памятью. (Л.Н.Толстой)

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как вызвать интерес к изучению математики, поддержать его и обеспечить активную деятельность учащихся в течении всего урока. Одним из важнейших условий построения обучения, которое способствует развитию мыслительной деятельности школьников на

уроках математики, является пробуждение их к самостоятельной мысли.

Знакомим учащихся с отдельными мыслительными приёмами. Причём знакомим с этими приёмами обязательно в процессе изучения соответствующего материала.

Совместно с учащимися приходим к выводу, что приём, с которым сегодня познакомились в процессе изучения новой темы или решения задачи, не потребовал лишней траты времени. Более того, этот приём облегчил понимание.

Выбор того или иного мыслительного приёма осуществляем в зависимости от содержания изучаемого материала. Поэтому в дальнейшем, когда учащиеся повторно встречаются с тем или иным приёмом, напоминаем, что приём нам уже знаком. Далее выделяем те особенности данной и ранее изученной темы, благодаря которым целесообразно использовать именно данный приём.

Учим комплексному использованию различных мыслительных приёмов во всевозможных комбинациях друг с другом.

В дальнейшем вырабатываем привычку самостоятельного применения мыслительных приёмов. Для этого постоянно напоминаем о целесообразности тех или иных действий, если учащиеся забывают это.

Учитель постоянно напоминает, что, прочитав в книге или услышав на уроке при объяснении, при ответе товарища какое-либо утверждение, полезно проверить, действительно ли оно справедливо, поставив перед собой вопросы: « Почему?», «На каком основании?»(приём соотнесения); напоминает так же, что преобразования, приведённые в книге, полезно воспроизводить, по возможности видоизменяя их( приёмы воспроизведения и реконструкции).

Учащихся приучают везде, где это возможно, сопоставлять изучаемый материал с прежними знаниями, устанавливая сходство и различия( приём сравнения). Учитель постоянно требует при воспроизведении изучаемого материала приводить свои примеры и контрпримеры( приём конкретизации).

Учащимся советуют при конспектировании располагать записи в наиболее удобной форме. Им рекомендуют различным образом свои записи, используя всевозможные символы: стрелки, подчёркивания, цветовые выделения( приём использования стимулирующих звеньев).

Прочитав текст, учащиеся выделяют из него главное и коротко рассказывают, о чём идёт в нём речь( приём составления плана).

Использование этого дидактического правила открывает заманчивые перспективы развития мышления учащихся. Учитель побуждает учащихся использовать те или иные мыслительные приёмы. Эти приёмы он сам выбирает применительно к содержанию данного материала. Тем самым учащиеся постепенно приучаются сами себе ставить подобные задания, побуждающие их применять мыслительные приёмы, наиболее соответствующие содержанию изучаемого материала. Следовательно, они привыкают не просто слушать и читать, механически запоминая материал, а осмысливать, обдумывать его.

Целенаправленное обучение приёмам мыслительной деятельности нисколько не замедляет процесс усвоения программного материала. Этот процесс всё более ускоряется по мере овладения этими приёмами.

Каждый этап урока открывает широкие возможности для развития мыслительной деятельности учащихся. Для того, чтобы эти возможности были с успехом реализованы, учителю необходимо овладевать различными формами работы на уроке, правильно соразмерять эти формы, постоянно совершенствовать методику преподавания. Следует помнить, что, только правильно организуя мыслительную деятельность учащихся на всех этапах уроков математики, учитель сможет достичь значительных успехов в обучении школьников.

Источник

Статья «Организация мыслительной деятельности на уроке математики»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Организация мыслительной деятельности на уроке математики

В условиях бурного развития науки и техники преподавание в школе не может сводиться только к тому, чтобы вооружить учащихся определенным запасом знаний. Необходимо добиться высокого уровня развития их мышления, с тем, чтобы учащиеся могли в дальнейшем самостоятельно расширять и углублять свои знания, применять их в смежных областях, находить решения в новых ситуациях. В связи с этим важно обучить школьников основным приемам умственной деятельности, сформировать у них умение анализировать и сопоставлять факты, делать обобщения.

Хочу остановиться на отдельных аспектах организации мыслительной деятельности учащихся на уроках математики возникшие в ходе проведения некоторых уроков и высказать некоторые соображения.

Математика как учебный предмет содержит богатый материал для обучения школьников сопоставлению и осмысливанию фактов.

Заметим, что для обобщения и систематизации знаний особенно ценными являются те разделы курса, в которых учащиеся с новых позиций осмысливают ранее изученный материал. К ним относятся, например, разделы « Свойства отношений » ( VI класс), «Логическое строение геометрии» (VIII класс), «Действительные числа» (IX класс).

Для того чтобы активизировать мыслительную деятельность учащихся при изучении ими теоретического материала, учителю при подготовке к уроку следует продумать систему вопросов, позволяющих направить мысль учеников в нужное русло, сделать их активными участниками в открытии новых положений, новых связей и закономерностей.

Богатые возможности для развития мышления учащихся открывает система упражнений, содержащаяся в школьных учебниках математики. Было бы неправильным думать, что развитию смекалки сообразительности учащихся, обучению их дедуктивным умозаключениям способствуют лишь те задачи, в которых учащимся непосредственно прилагается что-то доказать или дать обоснованный ответ на какой-либо вопрос. Почти каждое упражнение наряду с дидактически функциями выполняет и развивающие функции в обучении. Однако для того, чтобы система упражнений более эффективно способствовало умственному развитию учащихся, необходимо работу с упражнениями строить методически правильно.

Очень важно приучить учащихся по окончании решения задачи вернуться к ее условию и осмыслить полученный ответ.

После изучения темы «График квадратного трехчлена» можно будет предложить учащимся построить график зависимости расстояния тела от земли от времени полета, выраженной формулой h=40t-5t², где h – расстояние от земли (в метрах), t – время полета тела (в секундах). Из графика хорошо видно, что в течение первых 4 секунд тело поднимается вверх, достигая через 2 секунды от начала полета высоты 60м. Далее, поднявшись до высоты 80м, тело начинает падать и через 6 секунд от начала полета снова находится на высоте 60м от земли.

Если учащиеся привыкли формально относиться к полученным результатам, не приучены сопоставлять их с исходными данными, то в дальнейшем в их работах появляются нелепые ошибки (например, дробный ответ при нахождении числа людей, отрицательный ответ при нахождении массы и т.п.).

Целесообразно всячески поощрять учащихся, нашедших рациональный путь решения той или иной задачи, показывать остальным преимущества этого способа. Даже самый хороший способ решения задачи оставит след в сознании учащихся лишь тогда, когда он преподнесен им достаточно эффектно, ярко, а не просто сообщен.

Например, решить систему двух уравнений с двумя переменными(9 класс)

Ответ можно найти устно, если разложить многочлен x²­5xy на множители x(x­5y) и заменить выражение x­5y, стоящее в скобках, через 1. Решение будет выглядеть так:

При рассмотрении этого упражнения целесообразно сначала дать учащимся возможность решить систему обычным способом, выразив из второго уравнения переменную x через y или переменную y через x и подставив полученное выражение в первое уравнение, затем предложить им найти более простой способ решения. Тогда рассмотренный выше прием решения этой системы, показанный кем-либо из учащихся или самим учителем, произведет на учеников сильное впечатление, будет правильно оценен ими и останется в памяти.

Рассмотрение различных способов решения задачи способствует воспитанию гибкости мышления учащихся, развитию у них интуиции.

Характерной особенностью уроков учителей математики является постоянно предъявляемое к учащимся требование обосновать свой ответ. Вопрос «почему?» на уроках этих учителей становится центральным вопросом. Отвечая на него, ученики усваивают формулировки определений, теорем, глубже осознают связи между различными фактами, активно овладевают математической теорией

Чтобы выявить степень понимания материала, необходимо всячески варьировать задаваемые ученикам вопросы. Только тогда можно будет обнаружить, не являются ли знания учащихся формальными, основаны ли они на глубоком понимании материала или только на запоминании.

Важным моментом в воспитании культуры мышления учащихся является развитие их речи. Языковая грамотность, культура речи – необходимые условия успешного овладения основами наук.

Задачу развития речи учащихся совместными усилиями решают преподаватели различных учебных дисциплин. Математика как учебный предмет особенно благоприятствует воспитанию стройности, лаконичности, строгости речи. Специальной заботой учителя математики является обучение учащихся математическому языку – языку математических понятий и символов.

Необходимой предпосылкой для правильного развития речи учащихся является четкая, лаконичная, логически стройная речь самого учителя на уроке. Именно учитель, проводя доказательство теоремы, объясняя учащимся ту или иную задачу, дает им образец рассуждений, грамотного их построения.

Учителю следует с высокой требовательностью относиться к речи учащихся. Слушая их ответы на уроке, он должен быть предельно внимательным, реагировать на любые неточности, недомолвки. Тогда и сами ученики привыкают критически относиться к своей речи. Необходимо следить, чтобы ответы учеников были достаточно полными и связными. Добиваясь четкости и логической стройности речи учащихся, учитель способствует формированию у них умения четко и логически стройно мыслить.

Внимание учителя постоянно должно быть направлено также на совершенствование письменной речи учащихся. При объяснении теоретического материала, при ознакомлении учащихся с новыми методами решений задач учитель должен показывать образцы оформления записей. При этом желательно, чтобы ученики видели различные способы записей, каждый из которых является достаточно грамотным и правильным.

При поддержке письменных работ нельзя ограничиваться только подчеркиванием ошибок и недочетов языкового характера, необходимо исправлять их, показывая ученику образцы культурных и грамотных записей.

Педагогический процесс следует строить таким образом, чтобы вопросы организации мыслительной деятельности учащихся и развития их речи все время оставались в поле зрения учителя. Каждый этап урока – проверка домашнего задания, объяснение нового материала, выполнение упражнений – должен быть направлен на то, чтобы ученики активно воспринимали новый материал, а не были пассивными слушателями.

Большие возможности для развития мышления учащихся открывает самостоятельное выполнение ими заданий. Получив задание, ученик самостоятельно, без помощи учителя и товарищей, должен наметить путь решения, правильно выполнить все необходимые построения, преобразования и т.п. Безусловно, в этой ситуации мысль ученика работает особенно интенсивно. Однако мыслительная деятельность ученика будет продуктивной лишь тогда, когда он вооружен всеми знаниями и умениями, необходимыми для решения предложенной задачи, иначе усилия ученика окажутся напрасными, а педагогическая ценность самостоятельной работы будет утрачена.

Нельзя забывать о том, что при самостоятельном выполнении заданий учащимися мыслительные процессы остаются вне поля зрения учителя. Поэтому даже верный ответ ученика может оказаться случайным. В связи с этим самостоятельное выполнение заданий должно сопровождаться обязательной проверкой, причем в ходе такой проверки учащиеся непременно должны давать пояснения к решению.

Заметим, что было бы неправильно думать, что самостоятельная работа играет доминирующую роль в организации мыслительной деятельности учащихся на уроке. Не менее важное место занимает фронтальная работа с классом. При фронтальной работе учитель с помощью вспомогательных вопросов мобилизует мысль учащихся, направляет ее в нужное русло. Преимущество фронтальной работы состоит в том, что в ходе ее ученики знакомятся с новыми, ранее не известными им способами решения задач, быстро и своевременно исправляют допущенные ошибки, получают образцы рассуждений, образцы оформления записи решений и т.д.

От учителя зависит, насколько интенсивной будет мыслительная деятельность учащихся во время фронтальной работы. Постоянное привлечение класса к обсуждению хода решения, обращение к учащимся с контрольными вопросами, поощрение попыток найти рациональный путь решения – все это активизирует работу учащихся на уроке и предотвращает механическое списывание с доски.

За последнее время в практику школы вошли такие приемы организации работы на уроке математики, как одновременный вызов к доске трех учеников, каждый из которых молча выполняет свое задание, или выполнение задания учеником на доске, закрытой от класса. Класс же в это время выполняет задание (или одно из заданий) самостоятельно. По окончании решения вызванный к доске ученик показывает его классу и комментирует. И тот и другой прием кажутся недостаточно эффективными с точки зрения обучения мыслительной деятельности учащихся. Дело в том, что ученик не слышит рассуждений, мотивировки того или иного действия (почему сгруппировали именно эти члены многочлена, зачем изменили знак перед дробью, для чего провели перпендикуляр и т.д.), не видит он и процесса становления решения, а получает это решение в готово виде. Рассмотрение же готового решения полезно лишь для самоконтроля тем ученикам, которые справились с задачей. Тот же, кто не знал, как найти путь к решению задачи, так и не продвинулся вперед ни на шаг.

Каждый этап урока открывает широкие возможности для мышления и речи учащихся. Для того чтобы эти возможности были с успехом реализованы, учителю необходимо овладевать различными формами работы на уроке, правильно соразмерять эти формы, постоянно совершенствовать методику преподавания.

Мы рассмотрели лишь некоторые вопросы, связанные с организацией мыслительной деятельности учащихся на уроках математики. Эти вопросы очень многогранны, и осветить их в одной статье не представляется возможным.

В заключение хочется еще раз подчеркнуть, что, только правильно организуя мыслительную деятельность учащихся на всех этапах уроков математики, учитель сможет достичь значительных успехов в обучении школьников и подготовке их к будущей трудовой деятельности.

РАБОТА НАД ОШИБКАМИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Сознательному усвоению знаний способствует вдумчивый анализ самим учеником содержания каждой допущенной им ошибки, выяснение истоков этой ошибки и теоретическое осмысливание ее сути. Любая ошибка может и должна быть использована для более глубокого проникновения в суть каждого правила, каждого понятия, каждой теоремы.

Разбор ошибок полезен еще и потому, что, ознакомившись с какой-нибудь ошибкой и тщательно проанализировав ее, ученик в той или иной степени застраховывает себя от повторения подобных ошибок в будущем. Кроме того, работа над ошибками может служить хорошим средством для достижения точности определений, точности формулировок теорем. Разбирая ошибки, появляющиеся в процессе учебы, ученики учатся шлифовать каждое слово в своем ответе.

О значении своевременного реагирования на ошибки известный чешский педагог Ян Амос Коменский писал, что любая ошибка превращается из маленького «снежка» в большой «снежный ком» неуспеваемости, если на эту ошибку сразу же не реагировал учитель при непременном привлечении самого учащегося к ее осознанию и последующему труду, направленному на ее полное преодоление.

II. Целенаправленная работа над ошибками требует систематизации ошибок, появляющихся в процессе обучения математике. При этом решающую роль должны сыграть не отдельные примеры ошибок, а группы ошибок, объединенных общностью причин их появления, общностью методики работы над ними. Такая систематизация ошибок позволяет наметить коренные пути их исправления и, что самое главное, предупреждения ошибок в будущем.

Наиболее характерные ошибки, допускаемые учащимися при работе по программе:

Ошибки и недочеты, обусловленные невниманием к формулированию теоретико- множественных представлений учащихся: 1) ошибки, связанные с недостаточно четким владением понятиями множества, элемента множества, отношения принадлежности, равенства множеств, включения множеств;2) ошибки, возникающие в результате недостаточно четкого владения операциями пересечения и объединения множеств; 3) ошибки, связанные с непониманием классификации понятий.

Ошибки, связанные с недостаточной логической подготовкой учащихся; 1) ошибки, связанные с недостаточным осознанием понятия логического следования; 2) ошибки, связанные с непониманием структуры теоремы; 3) ошибки в понимании конъюнкции и дизъюнкции высказываний; 4) ошибки, обусловленные непониманием зависимости между прямой и обратной теоремами и вообще между видами теорем; 5) ошибки в понимании и применении терминов «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»; 6) ошибки, связанные с непониманием метода доказательства от противного; 7) ошибки, связанные с неотчетливым пониманием идеи доказательства методом математической индукции и др.

Ошибки, допускаемые учащимися при обобщении и конкретизации; 1) ошибки, связанные с непониманием объема и содержания понятия (расширением объема понятия, сужением объема понятия); 2) ошибки обобщения и конкретизации при изучении свойств понятий (неправомерный перенос свойств вида на родовое понятие (ошибки обобщения); неумение видеть в общем конкретное (ошибки конкретизации)); 3) ошибки, связанные с обобщением закономерностей (ошибки, обусловленные неправомерным обобщением закономерности; ошибки, связанные с неумением обобщать закономерности).

Ошибки, возникающие в результате использования неправильной аналогии.

Ошибки, допускаемые учащимися из-за отсутствия и неустойчивости самоконтроля.

III. Рассмотрим некоторые методы работы над ошибками:

1.Общие методы работы.

2. Формирование навыков самоконтроля учащихся.

3. Четкое осуществление обратной связи (ученик – учитель).

4. Обучение умению обнаруживать ошибки и аргументированно объяснять существо допущенной ошибки.

5. Использование контрпримеров и контробразов для исправления ошибок.

6. Исправление и предупреждение ошибок в процессе изучения нового материала.

7. Работа над случайными ошибками.

Рассмотрим их подробнее.

Для осуществления целенаправленных мер по исправлению и предупреждению ошибок учителю необходимо систематически изучать ошибки учащихся, выявлять наиболее устойчивые и типичные из них, вести учет распространенных и индивидуальных ошибок учащихся. Знание учителем типичных ученических ошибок, причин их возникновения и форм проявления дает ему возможность предвидеть и предупреждать их появление. Это достигается путем подбора таких упражнений, которые препятствуют образованию односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.

Регистрируемые и учитываемые учителем устойчивые и типичные ошибки учащихся помогают ему установить, что не понимают учащиеся, что ими плохо усвоено; это дает возможность учителю своевременно ликвидировать пробелы в знаниях учащихся и внести соответствующие коррективы в дальнейшее преподавание с целью предупреждения повторения аналогичных ошибок.

Чтобы определить сущность допускаемых ошибок, необходимо проследить ход рассуждений, приводящий к такому ошибочному решению, установить этап, на котором зарождаются ошибки, так как в большинстве случаев каждое неверное решение – это результат какого-то хода ученической мысли, какой-то «своей» логики рассуждения. Иногда при решении даже одного примера ученик может ошибиться несколько раз, о чем трудно догадаться по записи окончательного результата. Заметила что, часто учащемуся непонятен не весь материал, а лишь какая-то его часть. Выявив, что именно непонятно ученику (а в установлении этого, помогут допускаемые им ошибки), нужно сосредоточить на этом материале все внимание, не отвлекаясь на те моменты, которые уже усвоены.

Допускаемые учеником ошибки свидетельствуют не только о недостатках его знаний, но и о потенциальных возможностях. Ошибки служат также показателем проблем, которые могут быть поставлены перед учеником, а иногда они прямо приводят к созданию таких проблемных ситуаций, которые необходимы в данный момент для развития действия.

В практике обучения математике часто используются два противоположных метода обучения: первый метод, когда учитель передает готовые знания, а ученику остается их понять и запомнить, и второй, эвристический, когда ученик ищет решение поставленной проблемы и находит его, учитель же направляет действие ученика. Следует отметить, что в соответствии с этими методами и роль учителя в каждом случае различна. При использовании первого метода учитель выступает в роли источника информации, он передает знания быстро и отчетливо, не произнося ничего лишнего, но усваивают его уроки не многие ученики и запоминают не скоро. При использовании второго метода учитель – опытный проводник в поисках решения той или иной проблемы, он пробуждает мысль учащихся, тренирует их ум.

Ни в коем случае нельзя снижать оценок ученикам за ошибки в процессе поиска. Очень важно приучить их не бояться допускаемых ошибок. Допускаемые учениками ошибки надо исправлять тактично, обоснованно, шире привлекая к этой работе самих учащихся.

Боязнь допустить ошибку сковывает инициативу ученика. Боясь ошибиться, он не будет сам решать поставленную проблему, а станет ждать помощи от учителя. Он будет решать только легкие проблемы. Но без такого самостоятельного решения задач с последовательно нарастающей сложностью не может происходить интеллектуальное развитие – оно неизбежно задерживается. Во многих случаях по этой причине учащиеся проявляют систематическую робость и интеллектуальную пассивность, которая, закореняясь, в дальнейшем приводит к неуспеваемости.

Если учитель, объясняя непонятный ученику материал, не дает решать ему по-своему, а сразу показывает образец правильного решения. В этом случае ученик не может убедиться в непригодности своего решения и тем самым игнорируется важнейший прием – обучение на ошибках.

При другом подходе к этому вопросу не игнорируя неправильное решение, а, прослеживая ход рассуждений ученика, выбираешь в нем наиболее уязвимое место – абсурдность полученного результата – и сопоставляешь исходные и полученные данные. Таким образом побуждаешь ученика отказаться от своего решения. Путь разубеждения в неверном решении достаточно длительный, так как происходит перестройка в знаниях, а не просто наслоение одних на другие, как это бывает при готово решении. Но этот путь способствует более глубокому осознанию существа ошибки.

Очень оживленно воспринимаются учащимися «Задачи на выявление ошибки». Речь идет не только о софизмах, но и об ошибках, допускаемых самими школьниками. Не нужно спешить исправлять каждое ошибочное утверждение школьника. Лучше сначала поставить это утверждение на обсуждение всего класса и добиться осознанного исправления ошибки. Если школьники и не допускают ошибок, то все же нередко целесообразно проверить, насколько они «устойчивы» против типичных ошибок.

Процесс разыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководство учителя можно и важно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса вообще и интереса к изучению математики в частности.

Для исправления и предупреждения многих важных ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей: а) уметь обнаружить ошибку; б) уметь ее объяснить и исправить.

В процессе обучения применялись несколько приемов самоконтроля, которые содействовали обнаружению учащимися допущенных ошибок и своевременному их исправлению. К ним относятся: проверка вычисления и тождественного преобразования путем выполнения обратного действия или преобразования; проверка правильности решения задач путем составления и решения задач, обратных к данной; оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла; проверка аналитического решения графическим, проверка правильности рассуждений при помощи «кругов» Эйлера и др.

Выработке навыков самоконтроля помогает и прием приближенной оценки ожидаемого результата. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочеты типа описок, пропуска цифр и т.п.

Например, рассмотрим задачу: «За неделю завод выпустил 130 сенокосилок, выполнив месячный план на 25%. Сколько сенокосилок должен выпустить завод за месяц по плану?» Пусть решение ученика выглядит так: 130·100/25=52. Ошибка в ответе сразу становится очевидной, если перед решением ученик прикинет в уме:«За неделю завод выпустил 130 сенокосилок. Следовательно, за месяц он выпустит больше. Значит, ответ должен быть, во всяком случае, больше 130». Такая прикидка в уме особенно полезна при решении задач с дробными числами и процентами.

3.В процессе обучения вообще, а при работе над ошибками в особенности, важна обратная связь. Без постоянно осуществляемой обратной связи учитель не может выяснить, что не понимает и почему не понимает ученик, в чем причина его ошибочных представлений.

4. Предупреждению ошибок учащихся в процессе обучения математике эффективно содействуют упражнения на обнаружение ошибок.

В школьной практике почти всегда предлагают учащимся задания, в которых ошибки исключаются. Это вырабатывает у школьников чрезмерное доверие ко всем сообщениям, указаниям, заданиям, даже ко всем ответам примеров и задач, приведенных в задачниках и учебниках.

В жизненной практике в чертежах, схемах, расчетах и т.д., с которыми учащиеся в будущем встретятся, могут быть и ошибки. Если не научить их критически относиться к данным, то могут быть и аварии, и брак, и серьезные упущения в работе. Чтобы этого избежать необходимо формировать у учащихся умение анализировать данные, способность обнаруживать встречающиеся ошибки и обосновывать ошибочность положения.

Польский математик Г.Штейнгауз, отмечая большое значение работы над математическими ошибками для активизации мыслительной деятельности учащихся, пишет: «Если учащегося заверить, что в предложенном ему доказательстве есть ошибка, то можно быть уверенным даже без специальной проверки, что материал будет изучен полностью и очень тщательно». Поэтому составление списка математических ошибок и использование его в учебных целях является одним из действенных факторов повышения эффективности обучения.

В процессе обучения можно предложить следующие виды заданий на обнаружение ошибки:

а) Найти ошибку (неполноту) в формулировке правила, теоремы и др.; б) обнаружить противоречие в приведенном математическом тексте; в) обнаружить несоответствие содержания задания с ранее изученным материалом, с практикой, смежными учебными предметами, со здравым смыслом; г) обнаружить лишние данные в условии задачи; д) выявить неполноту условия задачи.

Наиболее ценными задачами на обнаружение ошибок являются задачи, составленные самим учителем с учетом типичных ошибок, допускаемых учащимися. Значительный интерес в этом смысле представляют задачи, в которых встречаются ошибки, допускающиеся самими учащимися в контрольных работах и при устных ответах.

Увлекательным материалом для такого рода задач являются софизмы, парадоксы. Такие задания создают поисковую ситуацию т.е. ситуацию, когда учащимся нужно разыскать ошибку и исправить ее. Очень важно, чтобы учащиеся объяснили ошибку.

Умению обнаруживать и объяснять ошибки необходимо обучать школьников постоянно: ученик должен уметь найти высказывание (математическое предложение или выражение), в котором имеется ошибка, и развернуто и последовательно построить опровержение.

Необходимо уделять должное внимание исправлению ошибок и неточностей в формулировке определений, теорем, высказываний с помощью контробразов и контрпримеров.

Важную роль в предупреждении ошибок играет продуманная организация изучения нового материала. Изучение нового материала надо строить так, чтобы ученик был активным участником этого процесса. Не надо бояться, если при первом изложении материала им будут допускаться ошибки, высказываться необоснованные выводы. Важно, чтобы те или иные ошибки в понимании материала исправлялись в зародыше, чтобы ученики воспринимали материал осознанно.

Такому подходу к изучению нового материала способствует создание проблемной ситуации и решение ее учащимися под руководством учителя. На таких уроках ученики проходят через следующие стадии: поиск нового (поставлена проблема, которую предстоит учащимся решить!), возможное появление ошибок в процессе поиска нового, обоснованное опровержение этих ошибок, снова поиски, в результате которых приходят к правдоподобной догадке, и, наконец, доказательство составленного, добытого в поисках предложения.

Все это способствует развитию математического мышления учащихся.

Особого отношения со стороны учителя требуют ошибки случайного характера (ошибки из-за неустойчивости самоконтроля).

Для правильного выбора метода работы над этими ошибками необходимо прежде всего выяснить, является ли эта ошибка случайной или она – результат непонимания изучаемого материала.

Одна и та же ошибка может быть результатом как случайных причин, так и непонимания изучаемого материала.

Если учитель установит, что ошибка произошла из-за непонимания материала, то в этом случае надо порекомендовать ученику провести следующую работу над ошибками: установить ошибочность своих выводов, прочитать соответствующий этому материалу текст в учебнике, разобрать доказательство необходимой теоремы или вывод формулы, решить предложенную систему упражнений еще раз.

Источник