Что внутри кубика рубика 3х3
Как устроен кубик Рубика
Ку́бик Ру́бика это не только игрушка, но и сложно устроенная головоломка, которая была изобретена в 1974 году преподавателем архитектуры из Венгрии Эрнё Рубиком.
Внешний вид кубика Рубика
Кубик Рубика – это объёмная головоломка, представляющая собой стереотипный механизм в виде пластмассового куба, размером 3 на 3 квадрата. Каждая из 6 граней, состоит из девяти квадратов (всего в головоломке 54 квадрата) и имеет свой отдельный цвет.
Классические цвета кубика Рубика:
Расположены грани следующим образом:
Поворачивая грани можно менять положение квадратов кубика.
Число всех возможных положений граней у кубика 3×3 (8! × 38−1) × (12! × 212−1)/2 = 43 252 003 274 489 856 000.
Собрать кубик Рубика — значит путем поворота граней куба, добиться того что бы каждая сторона состояла из граней одного цвета.
Устройство кубика Рубика
Различают три основных элемента кубика Рубика.
Центральный (центральные сегменты, или центра).
Центральных сегментов 6 штук и находятся они по одному в центре граней большого куба. Они вращаются, но находятся всегда в центре. Они окрашены только с одной стороны, с которой видны.
Все центральные кубики связаны между собой тремя осями. Каждая пара противоположно расположенных центральных кубиков вращается только вокруг одной своей оси.Центра-это единственная составляющая, которая не может перемещаться, т.е. центральные кубики нельзя сдвинуть с места.
Центральные сегменты определяют исходный цвет соответствующей грани. Если на данной стороне центральный кубик белый, значит, это будущая белая грань.
Именно когда грань будет белой, тогда вы правильно составите кубик. Все остальные элементы мы собираем именно вокруг центров.
Угловой (угловые сегменты или углы).
Квадратов такого типа 8. Все они имеют разные цвета. Располагаются восемь маленьких угловых сегментов на углах большого куба и окрашены одновременно тремя разными цветами.
Ребра или бортовые кубики.
Бортовых кубиков 12, и они соединяют центра. По расположению они находятся между угловыми сегментами. Окрашены с двух видимых сторон.
Всего в кубике Рубика 26 маленьких кубиков. Ребра и углы представляют 20 подвижных частей кубика Рубика. Чтобы понять, в чем состоит принцип сборки головоломки, нужно знать как 12 ребер и 8 угловых сегментов могут перемещаться.
Варианты внутреннего механизма кубика Рубика
Существует несколько вариантов внутреннего механизма:
Классический.
Кубик Рубика состоит из 26 маленьких кубиков и трёхмерной крестовины, скрытой внутри него. Основа куба- жесткий каркас: трёхмерная крестовина, которая находится в центре конструкции и на ней вращаются 6 центральных кубиков, прикрепленные к тонким осям креста на винтах. Они могут вращаться вместе с гранью, которая перемещается заодно с центральным кубиком данной грани.
Пружинка, одетая на тонкий конец креста, позволяет оттягивать при повороте поворачиваемый слой кубиков.
26 кубиков только условно называются кубиками, потому что все они имеют разные шипы, выпуклости и выемки, благодаря которым они держатся друг за друга и перемещаются.
В центральных и рёберных кубиках с внутренней стороны сделаны вырезки таким образом, что получается полость в виде объединения трёх цилиндров. Кроме этого, на рёберных и угловых кубиках имеются выпуклости разной формы. Они образуют фрагмент цилиндра, который плотно входит в упомянутую выше полость. С помощью такой конструкции грани кубика свободно вращаются С внутренних сторон центральные, средние и угловые кубики имеют различные вырезы.
Так выглядит внутренняя сторона грани куба, снятая с креста
Вид кубика, с которого снята одна грань
Усовершенствованный механизм кубика в виде сферы.
В таком кубике внутренний механизм выполнен в виде шара.Кубик крутится более плавно, мягче и при этом точнее. Благодаря новому механизму, теперь кубик Рубика «режет углы». Это означает, что даже если в процессе сборки какая-то из сторон кубика оказалась, не повернута до конца, то поворот другой стороны, пересекающей эту, довернет сторону.
Скоростной Кубик Рубика
Скоростной кубик Рубика 3×3 используется для профессиональной сборки. С каждым годом улучшается внешний вид кубика и совершенствуется внутренний механизм.
Например, в Кубик Рубика 3х3 GAN 356 AIR SM (SuperSpeed Magneto), для улучшения скольжения и смазки внутренняя поверхность выполнена в виде пчелиных сот.
А у всех кубиков бренда GAN линейки GAN356 Air центра выполнены круглыми.
У кубика Рубика 3х3 QiYi MoFangGe Valk3 PowerM на внутренней поверхности выполнены специальные направляющие рельсы
Новинкой последних моделей профессиональных кубиков Рубика является использование предустановленных магнитов в углах кубика, для увеличения контроля и доворачивания граней при сборке.
Как устроен кубик Рубика: сравнение всех известных механизмов
Многие из нас хотя бы раз держали в руках творение Эрне Рубика. И не исключено, что большинство любителей данной головоломки задавались вопросом, собственно, как устроен кубик Рубика?
В рамках данной статьи мы попробуем проиллюстрировать основные виды устройств кубика Рубика и начнем, пожалуй, с самого наименьшего куба – 2х2. Данный куб собирается очень легко, так как имеет всего две формулы сборки. Следовательно, внутреннее устройство у него тоже примитивное.
На сегодня существует два вида механизмов у кубиков Рубика 2х2: традиционный и усовершенствованный. Первым, как вы уже догадались, пользуется компания Rubik’sStudio. Данный механизм лежит в основе всех бюджетных кубиков Рубика 2х2.
Кубики Rubik’sStudio Традиционный механизм и усовершенствованный
Последнее время Rubik’sStudio постепенно переходит на более усовершенствованный механизм. Внешне он напоминает сферу, такие устройства используется на скоростных кубах, таких как QiYi или ShengShou.
Особый механизм у цветных кубиков 2х2 китайской компании QiYi
Разобрать на запчасти и собрать кубик Рубика 2х2 обратно сможет даже начинающий – здесь нет ничего сложного, поэтому если вам интересно заглянуть внутрь, смело берите отвертку и вперед. Правда, такой кубик Рубика купить можно только в Интернете, в киосках его нет.
Далее идут наиболее распространенные среди любителей кубы 3х3. Именно такого размера был первый кубик Эрне Рубика изобретенный в 1974 году. Здесь существует сразу несколько вариантов внутреннего механизма: классический, в виде крестовины, усовершенствованный, в виде сферы и скоростной.
Традиционная крестовина (справа вверху), усовершенствованный механизм Rubik’s Studio в виде сферы и устройство скоростного кубика 3х3 (внизу слева)
Неофициальный рекорд по сборке классического кубика Рубика 3х3 принадлежит Феликсу Земдегсу и составляет 4,21 секунды. Разобрать такой кубик также не сложно, а вот с обратной его сборкой у неопытных могут возникнуть проблемы, особенно если это скоростной кубик со сложным механизмом. Кстати, вот схема примитивного классического механизма, как видите, все просто:
Обычно механизм кубиков Рубика 3х3 выглядит так
Далее по размерам идут кубики Рубика 4х4. Их внутренний механизм существенно отличается от двух предыдущих кубов. Профессионалам известно, что конструкция механизмов четных кубов очень сложна. Четные кубы (4х4, 6х6, 8х8 и т.д.) имеют ряд свойственных им недостатков: клик механизмы не возможно отрегулировать, из-за этого у них получается тугой ход. Но все эти недостатки можно простить благодаря интересным задачам, которые стоят перед любителем такого куба: сборка четных кубов имеет другие формулы, нежели их нечетные братья.
Внутренний «мир» кубов 4х4 выглядит довольно фантастично
Разбирать такой куб без особой надобности начинающим не рекомендуется: потом придется долго искать схемы, как его собрать обратно.
Следующими идут кубы 5х5. На фото ниже мы видим два разных механизма: традиционный, который использует венгерская компания Rubik’s Studio и более сложный, используемый в скоростных моделях.
Механизм куба 5х5 от Rubik’s Studio в сравнении со скоростным кубом
Следующими идут четные кубы 6х6. Здесь мы уже не встретим товары Rubik’s Studio, зато можем полюбоваться сложным механизмом других кубов. Например, куб ShengShou 6х6 имеет свой уникальный механизм, который не заедает и не клинит. Он имеет очень мягкий ход и с легкостью срезает углы:
Скоростной кубик ShengShou 6х6
Кубы размерами 7х7 и больше имеют схожие механизмы, которые обычному любителю могут показаться «темным лесом». Чего только стоит механизм MoYu AoFu 7×7, который в основе тоже имеет крестовину:
Скоростной куб MoYu AoFu 7×7
Кстати, из-за того, что куб имеет длину всего в 77 мм его форму пришлось сделать немного сферической. Кубы 7х7 большего размера могут быть в классическом квадратном варианте. Чтобы смазать такой куб, его не обязательно разбирать – достаточно «пшикнуть» масло между отверстий.
Так как остальные кубы от 8х8 и выше имеют схожие механизмы, предлагаем рассмотреть устройство куба 11х11:
Неужели есть люди, которые могут собрать такой куб обратно?
На сборку разобранного куба таких размеров придется потратить целый день. И это только в том случае, если вы досконально знаете его устройство. Кстати, кубы 11х11 не самые большие в мире!
В 2011 году дизайнер головоломок Оскар Ван Девентер создал самый большой кубик Рубика в мире – 17х17. Куб состоит из 1734 цветных клеток и имеет сложнейший механизм!
Весь прикол в том, что нашелся желающий собрать этот кубик Рубика. Им оказался британский парень Кеннет Брэндон, который одолжил эту головоломку у знакомого, включил свою видеокамеру и начал записывать процесс сборки от начала и до конца. Всего на решение такой головоломки у Кеннета ушло около восьми с половиной часов.
Возможно, Кеннет Брэндон установил мировой рекорд по сборке авторского кубика 17х17. Но, а всем остальным мы бы посоветовали начинать с головоломок попроще.
Удивительная математика внутри кубика Рубика
В прошлом году исполнилось 40 лет с того времени, как человечество узнало о кубике Рубика. Эта головоломка сразу смутила умы почти полумиллиарда энтузиастов, которые полагали, что могут раскрыть сумасшедшие секреты этого удивительного кубика, если разберут его на составные части.
В преддверии юбилея кубика Рубика (да, юбилея!) и стартов новых потоков курсов Математика для Data Science и его расширенной версии Математика и Machine Learning для Data Science, пришло время раз и навсегда разгадать эту головоломку, на этот раз с помощью довольно сложной математики. Физические внутренности кубика могут быть изготовлены из пластика, но его виртуальными внутренностями, конечно же, являются числа. Давайте же окунёмся в этот мир чисел.
Разбор кубика Рубика на блоки
Начнем с базовых знаний. Кубик Рубика размером 3x3x3 имеет шесть граней, каждая своего цвета. Центральный кубик каждой грани прикреплён к внутренней крестовине, скрепляющей все элементы куба. Центральные кубики могут только вращаться вокруг своей оси. Одни и те же цвета всегда располагаются напротив друг друга; на стандартном кубе белый цвет находится напротив жёлтого, красный – напротив оранжевого, синий – напротив зелёного.
Если разобрать кубик Рубика, можно увидеть, что он состоит из трёх типов составных блоков. Первый тип: центральная крестовина, на которой удерживаются центральные кубики каждой грани. Второй тип – маленькие кубики размером 1x1x1. Угловые кубики имеют три цветные стороны, бортовые кубики – две. Кубик Рубика имеет одну крестовину, восемь угловых кубиков и двенадцать бортовых кубиков.
С помощью математики мы можем узнать общее количество способов, которыми можно перемешать кубик Рубика: 43 252 003 274 489 856 000. В виде математической формулы это число можно представить следующим образом: (3 8 8!)(2 12 12!)/12. Вот как получается эта формула.
Далее учитываем перемещения каждого углового кубика. Всего угловых пазов восемь, поэтому у первого углового кубика есть восемь вариантов. У второго углового кубика остается семь вариантов, у следующего слева кубика – шесть вариантов и так далее, вплоть до последнего углового кубика, который должен войти в последний угловой паз. Это даёт факториал 8!.
Таким образом, первая часть формулы (3 8 8!) осуществляет подсчёт всех способов, которыми угловые кубики могут размещаться в кубе. Значение 3 8 – это их ориентация, а 8! – их положение.
В следующей части формулы (2 12 12!) применяется тот же принцип, но теперь для ребер. Рёбра имеют только две ориентации, поэтому 12 рёбер могут иметь в общей сложности 2 12 ориентаций. Всего имеется 12 положений, поэтому 12! представляет собой количество способов, которыми кубики могут быть размещены в таких положениях.
Что ещё осталось в формуле (3 8 8!)(2 12 12!)/12? Осталось деление на 12. Деление на 12 связано с одной особенностью кубика Рубика, о которой многим известно, но которую не до конца её понимают. Проведём мысленный эксперимент (который, возможно, вы уже проводили вживую!):
Предположим, вы разобрали кубик Рубика, вытащили из него все кубики, а затем вставили все кубики обратно в случайные пазы (при этом угловые кубики можно установить только в углы, а бортовые кубики – только на рёбра). Вы получите конструкцию, которая выглядит как обычный перемешанный кубик, и на данный момент мы подсчитали все возможные комбинации созданного таким образом куба: (3 8 8!)(2 12 12!). Теперь зададим вопрос, всегда ли можно собрать такой перемешанный кубик, не разбирая его на части?
Здесь кроется ловушка, в которую попадало множество начинающих любителей разгадывать эту головоломку. Если вы тренируетесь и хотите перемешать уже собранный куб, необходимо сохранить куб в целости и собрать его вручную. Если разобрать куб на части и собрать кубики случайным образом, вероятность того, что головоломку можно будет решить, составит всего 1 к 12.
Ответ кроется в алгоритмах
Хотите понять, почему вероятность составит всего 1 к 12? Есть хороший визуальный способ понять, почему вероятность именно такая. Шанс собрать разобранный на составные кубики и снова случайным образом перемешанный большой куб будет равен шансам собрать куб со следующими образцами граней:
Оранжевая, жёлтая и зелёная стороны грани (не показаны) собираются как обычно.
Мы разместили их таким образом, чтобы было понятно, как получается коэффициент 12. Ряд 1 имеет нормальные углы. У рядов 2 и 3 один угол повёрнут. Столбец 1 имеет нормальные рёбра. У столбцов 2 и 3 одно ребро повёрнуто. У столбца 3 два ребра поменяны местами. И, наконец, в столбце 4 одно ребро повёрнуто и два ребра поменяны местами.
Таким образом, 12 кубов, представленных выше на фотографиях, не могут быть преобразованы друг в друга. 13-го варианта, который нельзя преобразовать ни в один из таких 12 кубов, не существует. Откуда нам это может быть известно?
Между тем, что может и что не может быть сделано посредством перемещения граней куба, есть связь. Последовательность перемещений граней куба энтузиасты сборки часто называют «алгоритмом». Популярными алгоритмами являются те, которые перемещают лишь несколько кубиков, оставляя остальные нетронутыми. Число 12 возникло по той причине, что на такие алгоритмы накладываются ограничения.
Число 12 составляется из трёх множителей: 12 = 3 * 2 * 2. Откуда берутся множитель 3 и два множителя 2?
Множитель 3: существует алгоритм, который поворачивает каждый из двух разных углов, но нет алгоритма, который поворачивает один угол (оставляя все остальные нетронутыми). Другими словами, если взять обычный кубик Рубика, вынуть один из его углов и заменить его на повёрнутый, такой куб собрать будет невозможно, то есть вы переместитесь из верхнего левого угла нашей диаграммы в одну из клеток прямо под ним.
Однако, если повторить эту операцию и повёрнуть еще один угол, второй множитель 3 не добавится. Теперь, когда в кубе повёрнуто два угла, мы можем последовательно применять алгоритм, поворачивающий два угла, до тех пор, пока не зафиксируется по крайней мере один из углов. Если другой угол случайно встанет на своё место, можем считать, что нам повезло и такой куб можно собрать. Ориентация углов может быть троякой.
Рассуждения относительно первого множителя 2 аналогичны. Существует алгоритм, поворачивающий на свое место каждое из двух разных рёбер, но алгоритма, способного повернуть на своё место только одно ребро, не существует. Таким образом, любое количество повёрнутых ребер может быть сведено к одному ребру, которое в итоге либо окажется, либо не окажется повёрнутым – варианта всего два.
Последний множитель 2 фактически относится к граням и углам, хотя на диаграмме мы показали его с гранями. Существует алгоритм, меняющий местами два угла, одновременно меняя местами два ребра. Но нет ни одного алгоритма, который был бы способен менять местами ни только пару углов, ни только пару рёбер.
Возьмите куб, вытащите два ребра и поменяйте их местами – на диаграмме вы попадёте на столбец, расположенный либо между столбцами 1 и 3, либо между столбцами 2 и 4. Аналогичные рассуждения можно применить, если поменять местами пару углов. Однако перемена местами пары ребер и пары углов уравновешивает баланс, так как алгоритм выхода из таких состояний существует.
Итак, после того как мы объяснили, откуда взялись все множители в коэффициенте 12, можно понять, откуда взялась формула (3 8 8!)(2 12 12!)/12. Число всех возможных положений кубиков в кубе составляет (3 8 8!)(2 12 12!), но только двенадцатая часть таких положений годится для сборки куба. Таким образом, число (3 8 8!)(2 12 12!)/12 обозначает количество способов, которыми можно перемешать кубик Рубика, не разбирая его на части.
Доказательство Популярной механики
Если вы достаточно любопытны, то, наверное, захотите проверить, верны ли сделанные выше утверждения. Существуют ли более сложные математические приемы, которые могут доказать, что «алгоритма, способного повернуть на своё место только один бортовой кубик, не поворачивая любой другой кубик, не существует»? Да, такие математические приёмы существуют. Вот как примерно строится такое математическое доказательство:
При переворачивании грани куба происходит перемещение четырёх бортовых кубиков. Рассмотрим, к примеру, алгоритм из 10 перемещений. Для каждого кубика выполните алгоритм и посчитайте, сколько раз перемещался кубик, и назовите это количество «числом перемещений кубика». Сложите эти числа для каждого бортового кубика, всего должно получиться 40 перемещений кубиков, так как каждое из 10 перемещений добавляет к сумме четверку.
В общем случае для любого алгоритма общее число перемещений бортовых кубиков должно быть кратно 4. Теперь пара важных фактов: если бортовой кубик перемещать чётное количество раз и вернуть его обратно в тот же самый паз, он будет иметь такую же ориентацию. И наоборот, если бортовой кубик перемещать нечётное количество раз и вернуть его обратно в тот же самый паз, он будет иметь перевёрнутую ориентацию.
Естественно, сказанное выше можно доказать с использованием более сложных математических методов, но мы не собираемся сильно углубляться в математику, иначе объём данной статьи превзойдёт все мыслимые и немыслимые пределы. Эти два факта также можно проверить экспериментально, чтобы понять, что всё происходит именно так. (В этом доказательстве поворот на 180 градусов считается двумя перемещениями каждого соответствующего кубика.)
Теперь давайте рассмотрим гипотетический алгоритм, достигающий цели, поворачивающий один бортовой кубик, оставляя при этом в неприкосновенности другой кубик. Одно повёрнутое ребро было перемещено алгоритмом нечётное количество раз, а каждое из 11 остальных рёбер было перемещено чётное количество раз. Сумма 11 чётных чисел и одного нечётного числа всегда нечётна, но мы показали ранее, что такая сумма должна быть кратна 4. Может ли нечётное число быть кратно 4? Нет, не может. Следовательно, такого алгоритма не существует.
Теперь вы понимаете, что число (3 8 8!)(2 12 12!)/12 представляет собой количество возможных состояний куба. Но для изучающего куб математика это лишь предварительная информация. Перед тем как начинать применять более сложные математические методы, задайте себе главный вопрос: «Существуют ли в этой теме математические вопросы, оставшиеся без ответов?»
Число Бога и многое другое
Главной задачей, поставленной изобретателем головоломки, естественно, была сборка куба. Эрно Рубик (Ernő Rubik) создал первый прототип головоломки в 1974 году, и через шесть лет она поступила в массовую продажу. Естественно, он был первым, которому удалось собрать куб.
В 1980 году кубик Рубика стал хитом продаж в магазинах игрушек. Но некоторые математики уже несколько лет экспериментировали с его ранними версиями. Одним из них был доктор Дэвид Сингмастер (David Singmaster) – составитель знаменитого путеводителя «Записки о Волшебном кубике Рубика» и разработавший нотацию для записи операций поворота граней куба. Эта нотация стала стандартом и теперь известна как нотация Сингмастера.
Если бы это была статья писалась в 1980-х годах, то, возможно, стоило бы подробнее объяснить читателям, что такое нотация Сингмастера, и использовать её при описании алгоритмов сборки куба. Множество авторов статей так и делали. Но сегодня на Youtube выложено множество видеоинструкций, поэтому в этой статье мы не будем отвлекаться на описание нотации.
За последние несколько десятилетий рекорд сборки кубика Рубика на время постоянно обновлялся. На сегодня мировой рекорд сборки кубика Рубика человеком составляет 3,47 секунды. В 1997 году доктор Джессика Фридрих разработала самый известный, самый скоростной и самый гибкий метод быстрой сборки кубика Рубика Самые быстрые сборщики кубика Рубика сегодня пользуются разными вариантами сборки от доктора Фридрих.
По мере того как одни пользователи оттачивали мастерство сборки, другие пытались решать важные математические вопросы, связанные с этой головоломкой. За сколько ходов можно собрать куб независимо от того, в каком состоянии он первоначально находился? Если кто-то перемешал куб за 500 ходов, то, естественно, собрать его можно менее чем за 500 ходов. На насколько именно меньше ходов?
Соответственно, была поставлена главная математическая задача: существует ли магическое число, позволяющее сказать: «любой перемешанный куб может быть собран именно за такое количество ходов [или меньше]»? Благодаря остроумному замечанию, что для обретения чувства уверенности нужно божественное вмешательство, это число получило название «Число Бога».
Первая гипотеза о существовании Числа Бога была выдвинута доктором Морвеном Тистлетвэйтом (Morwen Thistlethwaite) в 1981 году, который доказал, что это число существует и не превышает 52. Другими словами, любой перемешанный куб может быть собран за 52 хода или меньше.
В 1990–2000-х годах математики пошли ещё дальше. В июне 2010 года группа из четырёх учёных доказала, что Число Бога равняется 20. На этом веб-сайте, который ведут эти учёные, представлены самые последние знания о кубике Рубика.
Другими словами, какое бы хаотичное первоначальное состояние ни имел Кубик Рубика, его всегда можно собрать за 20 или менее ходов.
Для математиков в теме кубика Рубика остались лишь небольшие лакомые кусочки. Число Бога определено и равняется 20. Но точно неизвестно, сколько именно из 43 252 003 274 489 856 000 комбинаций потребуют для сборки полных 20 ходов.
Количество комбинаций, для сборки которых требуется ровно один ход, составляет 18. Это значение легко рассчитать. Есть шесть граней и три способа поворота каждой из них. Сколько кубов можно собрать ровно за два или три хода? Для математиков эта задача сложности не представляет, но можно предположить, что с увеличением количества ходов также будет увеличиваться сложность вычислений. Сегодня математики уже добрались до числа ходов 15; мы точно знаем количество комбинаций, для сборки которых требуется ровно 15 ходов, но пока не вполне точно представляем количество комбинаций для числа ходов от 16 до 20.
И это – последняя нерешённая задача в математической теме кубика Рубика. Будем ждать, когда кто-либо её решит. Может быть, это будете вы?
Получите нужные знания и навыки на курсе Математика для Data Science и его расширенной версии Математика и Machine Learning для Data Science. А промокод HABR даст скидку 50%.
Узнайте, как прокачаться в других специальностях или освоить их с нуля: