что такое r квадрат в регрессии
Коэффициент детерминации
Материал из MachineLearning.
Содержание
Определение и формула
Истинный коэффициент детерминации модели зависимости случайной величины от признаков определяется следующим образом:
где — условная (по признакам ) дисперсия зависимой переменной (дисперсия случайной ошибки модели).
В данном определении используются истинные параметры, характеризующие распределение случайных величин. Если использовать выборочную оценку значений соответствующих дисперсий, то получим формулу для выборочного коэффициента детерминации (который обычно и подразумевается под коэффициентом детерминации):
— сумма квадратов регрессионных остатков, — общая дисперсия, — соответственно, фактические и расчетные значения объясняемой переменной, — выборочное вреднее.
Необходимо подчеркнуть, что эта формула справедлива только для модели с константой, в общем случае необходимо использовать предыдущую формулу.
Интерпретация
Недостатки и альтернативные показатели
Основная проблема применения (выборочного) заключается в том, что его значение увеличивается (не уменьшается) от добавления в модель новых переменных, даже если эти переменные никакого отношения к объясняемой переменной не имеют. Поэтому сравнение моделей с разным количеством признаков с помощью коэффициента детерминации, вообще говоря, некорректно. Для этих целей можно использовать альтернативные показатели.
Скорректированный (adjusted)
Для того, чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом признаков так, чтобы число регрессоров (признаков) не влияло на статистику обычно используется скорректированный коэффициент детерминации, в котором используются несмещённые оценки дисперсий:
который даёт штраф за дополнительно включённые признаки, где — количество наблюдений, а — количество параметров.
Данный показатель всегда меньше единицы, но теоретически может быть и меньше нуля (только при очень маленьком значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве признаков), поэтому интерпретировать его как долю объясняемой дисперсии уже нельзя. Тем не менее, применение показателя в сравнении вполне обоснованно.
Обобщённый (extended)
Для случая регрессии без свободного члена:
При некоторой модификации также подходит для сравнения между собой регрессионных моделей, построенных с помощью: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК), обобщённо-условного метода наименьших квадратов (ОУМНК).
R Квадрат Интерпретация | R квадрат линейная регрессия
Дата публикации Apr 30, 2019
Машинное обучение включает в себя много статистики. В следующей статье мы рассмотрим концепцию R-Squared, которая полезна при выборе функций.
Последнее звучит довольно запутанно, поэтому давайте рассмотрим пример. Предположим, мы решили построить график зависимости зарплаты от многолетнего опыта. На следующем графике каждая точка данных представляет человека.
Мы можем рассчитать среднее или среднее значение, взяв сумму всех лиц в выборке и разделив ее на общее количество людей в выборке.
Дисперсия всего набора данных равна сумме расстояния между каждой точкой данных и средним квадратом. Разница возводится в квадрат так, что баллы ниже среднего не отменяются баллами выше среднего.
Теперь скажем, мы взяли тех же людей, но на этот раз мы решили построить график зависимости их зарплаты от роста.
Обратите внимание, что средняя зарплата остается неизменной независимо от того, что мы считаем независимой переменной. Другими словами, мы можем использовать другие аспекты жизни людей какИксно зарплата останется прежней.
Предположим, что мы использовали линейную регрессию, чтобы найтилучший примерлиния.
Значениеr²затем может быть выражено как:
гдепеременная (средний)является дисперсия по отношению к среднему ивар (линия)это дисперсия по отношению к линии.
Как мы упоминали ранее, дисперсию можно рассчитать, взяв сумму разностей между отдельными зарплатами и средним квадратом.
Используя ту же логику, мы можем определить изменение вокруг оранжевой линии.
Предполагая, что мы получили следующие значения для дисперсии линии и среднего значения.
Мы можем рассчитатьr²используя формулу, описанную ранее.
Значение R2 означает, что отклонение по линии на 96% меньше, чем среднее значение. Другими словами, соотношение между заработной платой и многолетним опытом составляет 96%. Иными словами, многолетний опыт является хорошим предиктором заработной платы, потому что, когда годы растут, растет и зарплата, и наоборот.
Давайте посмотрим, как мы можем использовать R² для оценки модели линейной регрессии. Для начала импортируйте следующие библиотеки.
Мы будем использовать следующий набор данных. Если вы хотите следовать, скопируйте его содержимое в CSV-файл.
Мы загружаем данные в нашу программу, используя pandas, и наносим их на график, используя matplotlib.
Далее мы обучаем модель линейной регрессии нашим данным о заработной плате.
Мы можем просмотреть лучшую линию подгонки, произведенную нашей моделью, запустив следующие линии.
Затем мы вычисляем R², используя формулу, рассмотренную в предыдущем разделе.
Вместо того, чтобы реализовывать его с нуля каждый раз, мы можем использовать sklearn r2_score функция.
R — значит регрессия
Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин — Машинного Обучения и Больших Данных. Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии. Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале — уметь отличить сигнал от шума.
Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R, который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.
Введение в регрессионный анализ
Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция 
такая, что сумма квадратов разностей 
минимальна.
Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.
Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений 
вокруг регрессии 
является дисперсия.
Линейная регрессия
Уравнения линейной регрессии можно записать в виде
В матричном виде это выгладит
Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:
Ограничения линейной регрессии
Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.
Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.
Неоднородность дисперсии
При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.
Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.
Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.
В этой формуле 
— коэффициент взаимной детерминации между 
и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.
Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова, согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.
Как преодолеть эти ограничения
Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.
К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.
Линейная регрессия плюсов на Хабре
Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.
Загружает данные из tsv файла.
Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях. Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная — нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.
В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points
. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points
Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.
Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.
Проверим значения параметров линейной регрессии.
Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.
И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.
В заключение
Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.
Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.
R-квадрат
Опубликовано 20.05.2020 · Обновлено 20.05.2021
Что такое R-квадрат?
R-квадрат (R 2 ) – это статистическая мера, которая представляет долю дисперсии для зависимой переменной, которая объясняется независимой переменной или переменными в регрессионной модели. В то время как корреляция объясняет силу взаимосвязи между независимой и зависимой переменной, R-квадрат объясняет, в какой степени дисперсия одной переменной объясняет дисперсию второй переменной. Таким образом, если R 2 модели равен 0,50, то примерно половина наблюдаемой вариации может быть объяснена входными данными модели.
При инвестировании R-квадрат обычно интерпретируется как процент движений фонда или ценных бумаг, которые можно объяснить движениями эталонного индекса. Например, R-квадрат для ценной бумаги с фиксированным доходом по сравнению с индексом облигаций определяет долю движения цены ценной бумаги, которая предсказуема на основе движения цены индекса. То же самое можно применить к акции по сравнению с индексом S&P 500 или любым другим соответствующим индексом.
Формула для R-квадрата
Ключевые моменты
Расчет R-квадрат
Чтобы рассчитать общую дисперсию, вы должны вычесть среднее фактическое значение из каждого фактического значения, возвести результаты в квадрат и просуммировать их. Оттуда разделите первую сумму ошибок (объясненную дисперсию) на вторую сумму (общую дисперсию), вычтите результат из единицы, и вы получите R-квадрат.
Что вам говорит R-Squared?
Значения R-квадрат находятся в диапазоне от 0 до 1 и обычно выражаются в процентах от 0% до 100%. R-квадрат 100% означает, что все движения ценной бумаги (или другой зависимой переменной) полностью объясняются движениями индекса (или интересующих вас независимых переменных).
Разница между R-квадрат и скорректированный R-квадрат
Разница между R-Squared и Beta
Ограничения R-Squared
R-квадрат даст вам оценку взаимосвязи между движениями зависимой переменной на основе движений независимой переменной. Он не говорит вам, хороша ли ваша выбранная модель или плоха, и не говорит вам, являются ли данные и прогнозы необъективными. Высокий или низкий R-квадрат не обязательно хорош или плох, поскольку он не передает надежность модели или правильность выбора регрессии. Вы можете получить низкий R-квадрат для хорошей модели или высокий R-квадрат для плохо подогнанной модели, и наоборот.
Часто задаваемые вопросы
Что такое хорошее значение R-квадрат
То, что считается «хорошим» значением R-Squared, будет зависеть от контекста. В некоторых областях, таких как социальные науки, даже относительно низкий R-Squared, такой как 0,5, можно считать относительно сильным. В других областях стандарты хорошего показания R-Squared могут быть намного выше, например 0,9 или выше. В сфере финансов R-Squared выше 0,7 обычно рассматривается как показывающий высокий уровень корреляции, тогда как показатель ниже 0,4 показывает низкую корреляцию. Однако это не жесткое правило, и оно будет зависеть от конкретного анализа.
Что означает значение R-Squared 0,9?
По сути, значение R-Squared, равное 0,9, означает, что 90% дисперсии изучаемой зависимой переменной объясняется дисперсией независимой переменной. Например, если у паевого инвестиционного фонда значение R-Squared составляет 0,9 относительно его эталонного показателя, это будет означать, что 90% дисперсии фонда объясняется дисперсией его эталонного индекса.
Лучше ли более высокий R-квадрат?
R-квадрат Определение
Опубликовано 11.07.2021 · Обновлено 11.07.2021
Что такое R-квадрат?
R-квадрат (R 2 ) – это статистическая мера, которая представляет долю дисперсии для зависимой переменной, которая объясняется независимой переменной или переменными в регрессионной модели. В то время как корреляция объясняет силу взаимосвязи между независимой и зависимой переменной, R-квадрат объясняет, в какой степени дисперсия одной переменной объясняет дисперсию второй переменной. Таким образом, если R 2 модели равен 0,50, то примерно половина наблюдаемой вариации может быть объяснена входными данными модели.
При инвестировании R-квадрат обычно интерпретируется как процент движений фонда или ценных бумаг, которые можно объяснить движениями эталонного индекса. Например, R-квадрат для ценной бумаги с фиксированным доходом по сравнению с индексом облигаций определяет долю движения цены ценной бумаги, которая предсказуема на основе движения цены индекса. То же самое можно применить к акции по сравнению с индексом S&P 500 или любым другим соответствующим индексом.
Он также может быть известен как коэффициент детерминации.
Формула для R-квадрата Is
Ключевые выводы
Расчет R-квадрат
Фактический расчет R-квадрата требует нескольких шагов. Это включает в себя получение точек данных (наблюдений) зависимых и независимых переменных и поиск линии наилучшего соответствия, часто на основе регрессионной модели. Оттуда вы можете рассчитать прогнозируемые значения, вычесть фактические значения и возвести результаты в квадрат. Это дает список ошибок в квадрате, который затем суммируется и равен необъяснимой дисперсии.
Чтобы вычислить общую дисперсию, вы должны вычесть среднее фактическое значение из каждого фактического значения, возвести результаты в квадрат и просуммировать их. Затем разделите первую сумму ошибок (объясненную дисперсию) на вторую сумму (общую дисперсию), вычтите результат из единицы, и вы получите R-квадрат.
Что вам говорит R-Squared?
Значения R-квадрат варьируются от 0 до 1 и обычно выражаются в процентах от 0% до 100%. R-квадрат 100% означает, что все движения ценной бумаги (или другой зависимой переменной) полностью объясняются движениями индекса (или интересующих вас независимых переменных).
При инвестировании высокий R-квадрат, от 85% до 100%, указывает на то, что доходность акций или фонда движется относительно в соответствии с индексом. Фонд с низким R-квадратом, равным 70% или меньше, указывает на то, что ценная бумага обычно не следует за движениями индекса. Более высокое значение R-квадрата укажет на более полезный показатель бета. Например, если у акции или фонда значение R-квадрата близко к 100%, но бета-коэффициент ниже 1, они, скорее всего, предлагают более высокую доходность с поправкой на риск.
Разница между R-квадрат и скорректированный R-квадрат
R-Squared работает только по назначению в простой модели линейной регрессии с одной независимой переменной. При множественной регрессии, состоящей из нескольких независимых переменных, R-квадрат необходимо скорректировать. Скорректированный R-квадрат сравнивает описательную силу регрессионных моделей, которые включают различное количество предикторов. Каждый предиктор, добавленный к модели, увеличивает R-квадрат и никогда не уменьшает его. Таким образом, модель с большим количеством членов может показаться более подходящей только потому, что в ней больше членов, в то время как скорректированный R-квадрат компенсирует добавление переменных и увеличивается только в том случае, если новый член улучшает модель выше того, что было бы получается по вероятности и уменьшается, когда предсказатель улучшает модель меньше, чем предсказано случайно. В условиях переобучения получается неверно высокое значение R-квадрата, даже когда модель фактически имеет пониженную способность прогнозирования. Это не относится к скорректированному R-квадрату.
Разница между R-Squared и Beta
Бета и R-квадрат – это две связанные, но разные меры корреляции, но бета – это мера относительной рискованности. Паевой инвестиционный фонд с высоким R-квадратом сильно коррелирует с эталоном. Если бета также высока, она может принести более высокую доходность, чем эталон, особенно на бычьих рынках. R-квадрат измеряет, насколько близко каждое изменение цены актива коррелирует с эталоном. Бета измеряет, насколько велики эти изменения цен по сравнению с эталоном. Используемые вместе R-квадрат и бета дают инвесторам полное представление о деятельности управляющих активами. Бета, равная точно 1,0, означает, что риск (волатильность) актива идентичен его эталонному показателю. По сути, R-квадрат – это метод статистического анализа для практического использования и надежности бета-версии ценных бумаг.
Ограничения R-Squared
R-квадрат даст вам оценку взаимосвязи между движениями зависимой переменной на основе движений независимой переменной. Он не говорит вам, хороша ли ваша выбранная модель или плоха, и не говорит вам, являются ли данные и прогнозы необъективными. Высокий или низкий R-квадрат не обязательно хорош или плох, поскольку он не передает надежность модели или правильность выбора регрессии. Вы можете получить низкий R-квадрат для хорошей модели или высокий R-квадрат для плохо подогнанной модели, и наоборот.
Часто задаваемые вопросы
Что такое хорошее значение R-Squared?
То, что считается «хорошим» значением R-Squared, будет зависеть от контекста. В некоторых областях, таких как социальные науки, даже относительно низкий R-Squared, такой как 0,5, можно считать относительно сильным. В других областях стандарты хорошего показания R-Squared могут быть намного выше, например 0,9 или выше. В финансах R-Squared выше 0,7 обычно рассматривается как показывающий высокий уровень корреляции, тогда как показатель ниже 0,4 показывает низкую корреляцию. Однако это не жесткое правило, и оно будет зависеть от конкретного анализа.
Что означает значение R-Squared, равное 0,9?
По сути, значение R-Squared, равное 0,9, указывает на то, что 90% дисперсии изучаемой зависимой переменной объясняется дисперсией независимой переменной. Например, если у паевого инвестиционного фонда значение R-Squared составляет 0,9 относительно его эталонного индекса, это будет означать, что 90% дисперсии фонда объясняется дисперсией его эталонного индекса.
Лучше ли более высокий R-квадрат?
Здесь опять же, это зависит от контекста. Предположим, вы ищете индексный фонд, который будет максимально точно отслеживать конкретный индекс. В этом сценарии вы хотели бы, чтобы R-квадрат фонда был как можно более высоким, поскольку его цель – соответствовать, а не превосходить, индекс. С другой стороны, если вы ищете активно управляемые фонды, высокий R-Squared может рассматриваться как плохой знак, указывающий на то, что управляющие фондами не добавляют достаточной стоимости по сравнению с их контрольными показателями.